A result on the output of stationary Erlang processes

Mecke, Joseph

doi:10.1002/mana.19750700109

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“…Then it can be checked that (Q(t), l(t» is a reversible Markov chain, and hence that the pooled process consisting of both departures from service and lost customers, having the same distribution as the arrival process, is Poisson. Shanbhag (1972) Fleischmann (1975) has shown that the pooled output process is still Poisson when service times are dependent in a certain sense, a result which also follows from recent work of Mecke (1975). Mecke defines an Erlang process on a pure loss s-server queueing system as an s-vector of indicator variables in which the ith equals 1 when the ith server is busy, and equals 0 otherwise.…”

Section: Finite-server Queuesmentioning

confidence: 69%

Queueing output processes

Daley

1976

Advances in Applied Probability

113

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The paper reviews various aspects, mostly mathematical, concerning the output or departure process of a general queueing system G/G/s/N with general arrival process, mutually independent service times, s servers (1 ≦ s ≦ ∞), and waiting room of size N (0 ≦ N ≦ ∞), subject to the assumption of being in a stable stationary condition. Known explicit results for the distribution of the stationary inter-departure intervals {Dn} for both infinite and finite-server systems are given, with some discussion on the use of reversibility in Markovian systems. Some detailed results for certain modified single-server M/G/1 systems are also available. Most of the known second-order properties of {Dn} depend on knowing that the system has either Poisson arrivals or exponential service times. The related stationary point process for which {Dn} is the stationary sequence of the corresponding Palm–Khinchin distribution is introduced and some of its second-order properties described. The final topic discussed concerns identifiability, and questions of characterizations of queueing systems in terms of the output process being a renewal process, or uncorrelated, or infinitely divisible.

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Section: Finite-server Queuesmentioning

confidence: 69%

Queueing output processes

Daley

1976

Advances in Applied Probability

113

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Stationäre ERLANGsche Prozesse

Mecke

Zähle

1975

Mathematische Nachrichten

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In inehreren Arbeiten wurden bisher ERLANGsche Bedienungsprozesse mi t abhangigen Bedienungszeiten untersucht: [3], [6], [7], [8], [lo]. I m Mittelpunkt des Interesses standen stationare Verteilungen fur diese Prozesse. Eine groBe Klasse derartiger Verteilungen wurde in [ 61 angegeben. In der vorliegenden Arbeit wird die Vermutung als richtig nachgewiesen, daB es dariiber hinaus keine wejteren stationairen Verteilungen fur ERLANGsche Prozesse gibt. In den vergangenen zehn Jahren waren die Bestrebungen, die genannte Vermutung zu beweisen, auf auaerordentliche Schwierigkeiten gestoaen. Als Ergebnis dieser Bemuhungen wurden tiefere Einsichten in die Struktur ERLANGscher Prozesse gewonnen, mit deren Darlegung in [7], [S] und [lo] begonnen wurde. Die in [7] und [ 81 enthaltenen Untersuchungen werden in der vorliegenden Publikation mit verbesserten Methoden weitergefuhrt. Wir betrachten ein Bedienungssystem aus n Bedienungseinrjchtungen, auf das ein stationarer Porssomcher Strom von Forderungen der Intensitat A > 0trifft. Die Folge der Ankunftszeiten von Forderungen werde durch 0 < a1 < < u2 < . . . , die der Bedienungszeiten bei der k-ten Bedienungseinrichtung (k = 1, . , . , n) durch {zkl: 2 = 0, 1, . . .} bezeichnet. Es werde zkm > 0 (m = 1,2,. . .) und zko 2 0 (k = 1, . . . , n) vorausgesetzt. Dabei sol1 zko = 0 bedeuten, daS der k-te Bediener bei Aufnahme des Betriebes, also im Zeitpunkt t = 0, frei ist und friihestens zur Zeit t = u1 besetzt werden kann; dagegen heifit zko > 0, daB die k-te Einrichtung zu Beginn besetzt und zur Zeit t = zko erstmalig frei wird. Jede eintretende Forderung wird ,,auf gut Gluck" an einen der gerade freien Bediener gegeben ; falls eine Forderung dle Einrichtungen besetzt vorfindet, geht sie verloren. Das heiI3t zum Beispiel, daB die erste Forderung nicht berucksichtigt wird, wenn zl0, . , . , zno > q. '1st dagegen fur ejn festes ko = 1, . . . , n die Beziehung rkOO 5 q erfullt, so belegt die erste Forderung mit Wahrscheinlichkeit * * 9 vn) = ( f l t , y n ( v i ) * * . , vn-i)) Sty,) . ' %Jt n A-meJbar. J f (9) W h ) = J Es,, = E, O ( % , J -I . S f (~i , .. . > vn-3, 7 ) E q ( d (~i , . . . )~% -i ) ) E(d(qi,. . ., 7 N -i ) 7)) . M n -i X A FGr alle t E R und alle 7 E A gilt

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