Algebra versus analysis in the theory of flexible polyhedra

Abstract

Two basic theorems of the theory of flexible polyhedra were proven by completely different methods: R. Alexander used analysis, namely, the Stokes theorem, to prove that the total mean curvature remains constant during the flex, while I.Kh. Sabitov used algebra, namely, the theory of resultants, to prove that the oriented volume remains constant during the flex. We show that none of these methods can be used to prove the both theorems. As a by-product, we prove that the total mean curvature of any polyhedron in the Euclidean 3-space is not an algebraic function of its edge lengths.Comment: 5 pages, 5 figures; condition (iii) in Theorem 5 is correcte

Алгебраические Методы Решения Многогранников

“…В [72] проведен интересный сравнительный анализ способов доказательства инвариантности объема и интегральной средней кривизны многогранников. Автор замечает, что у свойства инвариантности объема нет инфинитезимально-го аналога, т. е. если многогранник допускает нетривиальное бесконечно малое изгибание 1-го порядка, то соответствующая первая вариация объема может быть и ненулевой (но если бесконечно малое изгибание получено как поле ско-ростей изгибания, то вариация объема, конечно, равна нулю).…”

“…Между тем, дифференциал средней кривизны, как это видно из вы-шеприведенного замечания, линейно связан с дифференциалами длин ребер. Покажем, следуя работе [72], что между средней кривизной и длинами ребер многогранника нет алгебраической зависимости.…”

“…О доказательстве неалгебраичности средней кривизны для много-гранников произвольного комбинаторного строения см. работу [72], результат которой можно сформулировать так: для многогранников любого комбинатор-ного строения можно найти такую их конфигурацию, для которой средняя кривизна не является алгебраической функцией длин ребер. Вернемся к общей формуле (42) для средней кривизны многогранника.…”

“…Следо-вательно, стоит задача найти такое уравнение, из которого можно было бы получить все априори возможные значения средней кривизны. Результат работы [72] говорит, что такое уравнение не может быть алгебраи-ческим, значит, его надо искать среди аналитических или дифференциальных уравнений. По поводу возможности нахождения последних можно привести следующие соображения.…”

Necessary conditions for the extendibility of a first-order flex of a polyhedron to its flex

“…(D) Do these new relations imply that the volume bounded by a flexible polyhedorn is stationary? (It is known that the stationarity of the edge lengths only does not imply the stationarity of the volume, see, e. g., [3]).…”