An Optimal Size of a Rigid Thin Stiffener Reinforcing an Elastic Two-Dimensional Body on the Outer Edge

Abstract

The equilibrium problem for a two-dimensional body with a crack is studied. We suppose that the body consists of two parts: an elastic part and a rigid thin stiffener on the outer edge of the body. Inequality-type boundary conditions are prescribed at the crack faces providing a non-penetration between the crack faces. For a family of variational problems, dependence of their solutions on the length of the thin rigid stiffener is investigated. It is shown that there exists a solution of an optimal control problem. For this problem, the cost functional is defined by a continuous functional on a solution space, while the length parameter serves as a control parameter.

Optimal location of a thin rigid inclusion for a problem describing equilibrium of a composite Timoshenko plate with a crack

“…Note that {Q t } ∈ K t for all t ∈ [0, T] ∩ [t * , t * + δ). To prove the boundedness of {Q t }, we use (12) with an appropriate test functionχ that belongs to K t for all t ∈ [0, T] ∩ [t * , t * + δ). Such a functionχ ∈ H(Ω γ ) can be constructed by applying a lifting operator for the Lipschitz domains Ω \Ō and O \ (β T 0 ) with the following values on the boundaries: χ = ζ * on ∂β T 0 ,χ = 0 on Γ ,χ = η on γ ± [33].…”

“…Such a functionχ ∈ H(Ω γ ) can be constructed by applying a lifting operator for the Lipschitz domains Ω \Ō and O \ (β T 0 ) with the following values on the boundaries: χ = ζ * on ∂β T 0 ,χ = 0 on Γ ,χ = η on γ ± [33]. The function constructed in the proposed manner obviously belongs to K t for all t ∈ [0, T] ∩ (t * , t * + δ), and, hence, it can serve in (12) as a test function. This yields…”

Optimal control of a thin rigid stiffener for a model describing

“…Начиная с 1990-х годов, начали активно разрабатываться задачи теории трещин с условиями непроникания противоположных берегов трещины [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]. Используя вариационный подход, успешно исследован широкий круг задач о деформировании композитных тел, содержащих жесткие включения см., например, [18,19,20,21,22,23,24]. В частности, теория двумерных задач теории упругости с тонкими жесткими включениями и возможным отслоением предложена в [18].…”

“…Анализ зависимости решения задачи от вариации формы объемного включения в упругом двумерном теле с трещиной, выходящей за пределы тонкого жесткого включения проведен в [21]. Результаты о существовании тонких жестких включений оптимального размера для двумерного тела и для пластины Кирхгофа-Лява можно найти в работах [22,23]. Отметим, что качественная связь между задачами о равновесии пластин модели Тимошенко, которые содержат тонкие и жесткие включения на внешней границе установлена в [24], а именно, показано, что задача для пластины с тонким включением является предельной для семейства задач о равновесии пластин с объемными включениями -при стремлении параметра размера объемного включения к нулю.…”

“…В исследовании задач для моделей композитных тел с трещинами, применяются как линейные, так и нелинейные граничные условия см. [18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30].…”