Analysis of a Galerkin-characteristic finite element method for convection-diffusion problems in porous media

Abstract

L'objectif de ce travail est l'étude d'une méthode de résolution numérique par éléments finis semilagrangiennes afin de résoudre les problémes évolutifs de convection-diffusion issus des milieux poreux. La méthode proposée permet d'utiliser une approximation par éléments finis d'ordre égal pour toutes les solutions du probléme. En outre, la condition standard de Courant-Friedrichs-Lewy est assouplie avec le traitement lagrangien des termes de convection, et les erreurs de troncature sont réduites dans la partie diffusion-réaction du probléme. Dans cette étude, une analyse de la convergence et de la stabilité de la méthode proposée est aussi présentée, ainsi que les estimations des erreurs dans la norme L 2 dérivées pour toutes les solutions numériques. Les tests numériques sont illustrées par quelques exemples afin de vérifier les estimations théoriques et de démontrer la grande précision et l'efficacité de la méthode proposée. ABSTRACT. We present a Galerkin-characteristic finite element method for the numerical solution of time-dependent convection-diffusion problems in porous media. The proposed method allows the use of equal-order finite element approximations for all solutions in the problem. In addition, the standard Courant-Friedrichs-Lewy condition is relaxed with the Lagrangian treatment of convection terms, and the time truncation errors are reduced in the diffusion-reaction part. Analysis of convergence and stability of the proposed method is also investigated in this study and error estimates in the L 2 -norm are established for the numerical solutions. Numerical performance of the method is examined using two examples to verify the theoretical estimates and to demonstrate the high accuracy and efficiency of the proposed Galerkin-characteristic finite element method. MOTS-CLÉS. Problémes de convection-diffusion, Équation de Darcy, Milieux poreux, Méthode semi-lagrangienne, Éléments finis, Estimation des erreurs a priori.

Finite Line Method for Solving Convection–diffusion Equations

“…In eqns ( 15) and ( 16), 𝑑 and 𝑑 are the derivative operators computed based on the upwind and diffusion line sets, respectively, using eqns (10) and (11).…”

“…If needed, the formulations for more high-order derivatives can be established in a similar recursive manner. In eqns (10) and (11), 𝑑 and 𝑑 are called the first order and second order derivative operators, respectively. Eqns ( 10) and ( 11) can be directly substituted into the governing equations and related boundary conditions of a specific engineering problem to set up the discretized system of equations.…”

“…Numerical solution of CDEs has become an important means of analysis. Robust numerical methods for solving CDEs are the Boundary Element Method (ΒΕΜ) [3], [4], the Finite Volume Method (FVM) [5], [6], the Finite Difference Method (FDM) [7], [8], the Finite Element Method (FEM) [9]- [11], and the Mesh Free Method (MFM) [12], [13]. Although these methods can be used to solve a wide range of engineering problems in solid mechanics, fluid mechanics and heat transfer, they also have some drawbacks.…”