Basisbestimmung Veronesescher Projektionsideale mit allgemeiner Nullstelle (t0m, t0m–rt1r, t0m–st1s, t1m)

Abstract

Basisbestimmung Veronesescher Yrojektionsideale init sllgemeiner Nullstelle (t?, t?-'t;, t:-"tf, t;n) lierrn Prof. Dr. 0. H . Keller zum 75. Geburtstug gewidmel Von HENRIK BRESINSKY in Orono (Maine) rind BODO RENSCHUCH in Potsdani (Eingegnngrn a m 29. 9. 1979) VERONESESOhe Projektionsideale wrirden erstnials von GROBNER in [3] unter verschicdenen Aspekten betrachtet und ihre systeniatische Untersuchung angeregt. Dazu wiirden von RENSCHUCH in [7] Reduktionsmoglichkeiten angegeben. Minimalbasen wurtlen nus den HILBERTschen Gleichiingen nach Ansatz niit unbestininiten Koeffizicriten hei steigenden Qradzahlen gewonnen ; fiir den Nachweis der Vollstandigkeit konnten fiir die F d l e n = 3 , d = 1 und n = 4, d = 1 teilweise umfangreiche Prozeduren migegeben werderi (vgl. [8], Kap. 6). Dcr an sich riaheliegende Gedanke, durch Arissagen uber die Anzahl der Basiselcriiente von Miniitidbasen zu Vereinfachiingen zu gelangen, fuhrt leicler auch nicht, wc?itjer: Fiir n 2 4, d = 1 existieren brreits i n i nffinen Rauni A" beliehig lange Basen niininialer Lange, wie von BRESINSKY in [ 11 gezeigt wurde. Demgegenuber wurde von HERZOG in [4] bewiesen, dall irri clreidimensionalen affinen Raum .43 uher einem heliehigen Kijrper K das inhoniogene Prirriideal ( p ) (fT, tS, t m ) der Kurve C init allgemeiner Nullstelle ( t r , ta, tm) stet's vori zwei oder drei Elcnient,en erzeugt wird. DaR sich diese C'erhllt.iiisse nicht auf dic entsprecliendeii projektiven Kurven iibertragen lassen, folgt schon nus der Tatsache, di LW die niininiale Erzeugendenzahl von b : , , , := p ( t r , t:-'t,, tot? ', t?) gleich m ist (fur die explizite Angabe einer Minitnalbasis fur dieses Ideal siehe University of N n i n e , 331 E.M. Orono, Maine Odd69 U . 9 . A . DDR -1532 Kleinmachnow Wolfszoerder 40

Mengentheoretisch vollständige Durchschnitte verschiedener rationaler Raumkurven im P3 über Körpern von Primzahlcharakteristik

“…Hier wird nun im Q 5 weiter gezeigt, da13 die singularitiitenfreien unter den Kurven mit der allgemeinen Nullstelle (1. 2 Beweis (=. ): Aus Rad ( f , g ) = p und hcp folgt trivialerweise hcRad ( f , 9).…”

“…. , F8} diegema13 [2] konstruierte Minimalbasis von @(nl, n2, n3). Bekanntlich ist ein Punkt P auf C(n,, n2, n3) genau dann keine Singularitiit, wenn im Punkte P gilt.…”

“…Fur n l = l und n2=n3-1 ist xOZ~-Z~X~EX und x1x~-2-@-i€31Z (vgl. etwa [2], Beispiel 1). Durch partielle Differentiation nach xo und x i folgt also liefert der Punkt (0, 0 , 0, 1 ) fur n l = l , n 2 = n 3 -i keine Singularitat.…”

“…Durch partielle Differentiation nach x2 und x3 ergibt sich als eine Unterdeterminante von (Pij) :Also sind diese Kurven im Affinen singularitiitenfrei. Nun ist nach (1.2) der Punkt (0, 0, 0, 1 ) der einzige Punkt von C(nl, n2, n3) auf der Fernhyperebene xi= 0.Wegen n l = l und[2], Lemma 2a) tritt x3 in 311 nur mit xo oder xi auf. Damit Rang (Pij)rl ist, mu13 es jedenfalls D 2 : =~; ; 3~~~" *~~-Wegen nl= 1 ist 02zl evident.…”

“…Nengentheoretisch vollstandigeDurchschnitte voii C(n,, n2, n,) fiir Char K = p >O Wir wollen nun konstruktiv nachweisen, daB es bei Char K = p > O fur alle C(n,, n2, n3) Formen F,, P 2 gibt mit Rad ( P i , P 2 ) =p(ni, n2, n3) NG(F,,TZ) = C(nl, n2, n3) .Es erweist sich als zweckmaBig, die Bezeichnungen von[2] wje folgt abzua2 ~ a?i ' a23 I a3 p 3 1 ' a32 Unsere Aufgabe entfgllt, wenn p(ni, n2, n3) Ideal der Hauptklasse ist. Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn p(ni, n2, n3) Izoa=i Hauptklassenideal ist und keine abgeleiteten Polynome gemaB [2] gebildet werden konnen.…”