Breaking a magnetic zero locus: model operators and numerical approach

Abstract

This paper is devoted to the spectral analysis of a Schrödinger operator in presence of a vanishing magnetic field. The influence of the smoothness of the magnetic zero locus is studied. In particular, it is proved that breaking the magnetic zero locus induces discrete spectrum below the essential spectrum. Numerical simulations illustrate the theoretical results.

Breaking a magnetic zero locus: Asymptotic analysis

“…This paper shows that the consequence of Conjecture 1 on the spectrum ofL tan θ matches with the numerical simulations of the eigenvalues in Ref. [4][5][6][7][8]. Our construction of quasimodes, which uses some normalized Hermite's functions with respect toŝ, will also agree with the behavior observed in Fig.…”

“…30 and that both of them are analyzed through numerical experiments in Ref. 4. In particular the paper 4 displays new model operators which naturally appears when we break the translation invariance.…”

Breakdown of superconductivity in a magnetic field with self-intersecting zero set

“…Here n is the unit normal vector to the boundary, τ 1 and τ 2 are the unit tangent vector on the intersection point x ∈ , and HessB 0 is the Hessian matrix of the magnetic field at the point x which has two non-zero eigenvalues λ Hess The case where the magnetic field vanishes non-degenerately along a smooth non self intersecting curve, is the subject of numerous works in the contexts of superconductivity [3,19,29] and semiclassical spectral asymptotics [7,10,28].…”

Eigenstates of the Neumann Magnetic Laplacian with Vanishing Magnetic Field

“…(2) ζ θ 1 < M 0 , pour tout θ ∈ 0, π 2 . Ce fait est illustré numériquement dans [20]. On y trouve les courbes des valeurs propres pour différentes valeurs de l'angle θ ∈ (0, π 2 ) : On retrouve dans le graphique ci-dessus la valeur de M 0 et la courbe FIGURE 2.…”

“…On notera que [20], [65], [7] et [6] concernent également du cas où la ligne d'annulation du champ magnétique rencontre le bord, mais ils ne traitent pas de l'asymptotique (pour h → 0) des petites valeurs propres de P h,A,Ω . Les papiers [20] et [65] traitent en grande partie de l'influence de la régularité du champ magnétique à travers l'étude d'une ligne d'annulation brisée ( [65] étudie plus précisément la limite petit angle), tandis que [7] et [6] s'intéresse à la minimisation de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau pour κ → +∞ (voir (1.1)). On trouve dans [58] le résultat suivant pour le premier terme de l'asymptotique : Ce résultat est le pendant du théorème 1.2, précédemment énoncé pour un champ magnétique ne s'annulant pas.…”