Classes réalisables d'extensions métacycliques de degré lm

Sbeity, Farah; Sodaı̈gui, Bouchaı̈b

doi:10.1016/j.jnt.2009.10.007

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“…A fruitful approach is to extend scalars from O k [Γ] to a maximal order M ⊃ O k [Γ] in k [Γ], and then to investigate the image R(M) of R(O k [Γ]) in Cl(M). This has been done in a number of cases [1,4,15,22,23,24,25,26]. In particular, nonabelian groups Γ of order lq, with l > q both prime, were considered in [23] under the assumption that k ∩ Q(ξ lq ) = Q.…”

Section: Introductionmentioning

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“…In particular, nonabelian groups Γ of order lq, with l > q both prime, were considered in [23] under the assumption that k ∩ Q(ξ lq ) = Q. This was generalized in [22] to groups Γ of order lm, with m an arbitrary divisor of l − 1, under the weaker assumption k ∩ Q(ξ l ) = Q. In both these papers, what is actually characterized is the subset R 1 (M) of R(M) consisting of the classes realized by tame Γ-extensions N of k with N ∩ k(ξ l ) = k. (See [22, p. 1820] for a correction to [23]).…”

Section: Introductionmentioning

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Realizable Galois module classes over the group ring for non abelian extensions

Byott¹,

Sodaı̈gui²

2013

Ann. inst. Fourier

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Section: Introductionmentioning

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Realizable Galois module classes over the group ring for non abelian extensions

Byott¹,

Sodaı̈gui²

2013

Ann. inst. Fourier

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“…Dans cet article on s'intéresse à la Conjecture 2. Dans le §2, on décrit, d'une façon assez explicite, R(A, M) lorsque Γ = C l est le groupe cyclique d'ordre un nombre premier l impair et k est linéairement disjoint sur Q du l-ième corps cyclotomique sur Q. Ensuite, dans le §3, on applique le résultat obtenu dans le §1 pour décrire un sous-ensemble de R(A, M) lorsque Γ est un groupe métacyclique non abélien d'ordre lq, où q est un nombre premier en se plaçant dans la situation de [15,18] Dans la première version soumise pour publication il y avait toutes les démonstrations de ces propositions. Suite à l'acceptation de [19] (dont les résultats sont ultérieurs à ceux du présent article), grâce à une suggestion du referee, nous avons simplifié la présentation de ce §2 tout en gardant ce qui est nécessaire et suffisant pour le présent article.…”

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Structure galoisienne relative de la racine carrée de la codifférente d’extensions métacycliques non abéliennes

Iadarola

Sodaı̈gui

2021

Acta Arith.

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Structure galoisienne relative de la racine carrée de la codifférente d'extensions métacycliques non abéliennes par Angelo Iadarola et Bouchaïb Sodaïgui (Valenciennes) 1. Introduction. Dans tout cet article, si K est un corps de nombres, O K désigne son anneau d'entiers et Cl(K) son groupe des classes. Si I est un idéal fractionnaire de K, on note cl K (I) sa classe dans Cl(K), ou simplement cl(I) si aucune confusion n'est possible. Soient k un corps de nombres et Γ un groupe fini. Soient M un O k -ordre maximal dans l'algèbre semi-simple k[Γ ] contenant O k [Γ ] ; parfois, pour plus de précision, on le notera M(k[Γ ]). Soit Cl(O k [Γ ]) (resp. Cl(M)) le groupe des classes des O k [Γ ]-modules (resp. M-modules) localement libres (voir [8, Chap. I]). Soit M un O k [Γ ]-module localement libre. On peut associer à M une classe, notée [M ], dans Cl(O k [Γ ]), et par extension des scalaires la classe de M ⊗ O k [Γ ] M , notée [M ⊗ O k [Γ ] M ], dans Cl(M).Soit N/k une extension galoisienne à groupe de Galois isomorphe à Γ ; parfois on dira simplement que N/k est une Γ -extension. Soit π un isomorphisme défini sur Gal(N/k) et à valeurs dans Γ . Pour tout γ ∈ Γ , nous noterons π −1 (γ) ∈ Gal(N/k) simplement par γ.Soit D N/k la différente de N/k. Supposons que la racine carrée de la codifférente D −1 N/k existe et notons-la A N/k . Immédiatement A N/k est un idéal fractionnaire ambige de l'extension N/k (i.e., stable par les éléments de Gal(N/k) ; donc c'est un Γ -module).Signalons que, par la formule de Hilbert (voir [16, Proposition 4, p. 72]), lorsque N/k est modérément ramifiée, A N/k existe si, et seulement si, les indices de ramification dans N/k sont impairs ; c'est le cas, par exemple, lorsque Γ est d'ordre impair.

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“…Pour des résultats récents dans la direction de l'étude de la conjecture non abélienne sur les classes réalisables voir [3][4][5][6][7]14,19].…”

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“…Nous n'avons pas réussi la détermination de R(M) à cause de grandes difficultés provenant d'un problème de plongement (voir Proposition 2.6 ci-dessous) en liaison avec la donnée d'éléments de l'ensemble R(M(H)) des classes réalisables des extensions modérées à groupe de Galois H, où M(H) est le O k -ordre maximal dans k[H] (on pourrait consulter Proposition 2.2(ii) ci-dessous pour avoir une idée de tels éléments). Mais sous l'hypothèse que k/Q et Q(ξ)/Q sont linéairement disjointes et k(ξ p 2 )/k(ξ) est non ramifiée lorsque Γ est d'exposant p 2 , où ξ p 2 est une racine p 2 -ième de l'unité, nous avons déterminé à l'aide d'un idéal de Stickelberger, pour chaque type de Γ, un sous-groupe de Cl • (M) contenu dans R(M) (voir une démarche analogue dans [14,18] …”

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