Coloração Total Absolutamente Equilibrada em uma Família Grafos Regulares

Abstract

Recebido em 10 de dezembro de 2018 / Aceito em 30 de setembro de 2020 RESUMO. Neste trabalho introduzimos os conceitos de coloração total absolutamente equilibrada e composição de grafos. Provamos que para n, k ∈ N, se (k + 1)|n, existe um grafo k-regular conexo com n vértices que admite uma coloração total absolutamente equilibrada com no máximo ∆ + 2 cores. Esse resultado mostra que existe uma relação entre a regularidade e o número de vértices do grafo que possibilita a construção de uma família de grafos regulares, denominados grafos harmônicos. Em seguida, mostramos que todo grafo harmônico de grau k pode ser obtido como composição sucessiva de grafos completos de grau k. Finalizamos, provando que os grafos harmônicos não possuem vértice de corte, fato que implica que todo grafo desta família possui conectividade de vértices κ(G) ≥ 2.