Continuous modules are clean

Abstract

A ring R is said to be clean if every element of R is a sum of an idempotent and a unit. The class of clean rings is quite large and includes, for instance, semiperfect rings (and thus finite rings), and rings of linear transformations of vector spaces. We prove that the endomorphism ring of every continuous (or discrete) module is clean.

Two-Sided Properties of Elements in Exchange Rings

“…4.2). On the other hand, going back to the idempotent f , we have A = ker (f ) and B = im (f ), so the equation M = A ⊕ B is precisely the "ABAB-decomposition" of a with respect to the strongly clean representation a = f + u, in the sense of [3] (after [15]). The inclusion relations K ⊆ A ⊆ I and K ⊆ B ⊆ I could have been checked directly without invoking Theorem 3.6(1) or Theorem 4.5.…”

Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih

“…Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou [6] memberikan definisi bahwa suatu ring R dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari ring R merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen dalam suatu ring R dikatakan bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen unit dari ring R. Camillo et.al. [1] memberikan definisi bahwa suatu modul atas ring R dikatakan bersih apabila ring endomorfisma dari modul tersebut merupakan ring bersih. …”

“…Selain itu, Lam [4] juga memberikan sifat elemen idempoten dalam ring endomorfisma dari suatu modul quasi-kontinu, sedangkan beberapa sifat ring endomorfisma dari modul kontinu dan quasi-kontinu lainnya diberikan oleh Camillo et.al. [1] …”

“…Camillo et.al. [1] menunjukkan bahwa setiap modul kontinu merupakan modul bersih. Lam [4] 66 menunjukkan bahwa setiap modul quasi injektif merupakan modul kontinu.…”

“…Sari, [7] memperoleh hasil ini dengan menggunakan sifat bahwa setiap modul merupakan submodul dari modul injektif (Hazewinkel et.al.,[3], dan setiap modul injektif-murni merupakan modul bersih (Camillo et. al., [1] Dengan menggunakan Kriteria Baer, berikut diberikan contoh modul injektif lainnya.…”