Ein Analogon zur Fundamentalgruppe einer Riemann'schen Fl�che im Zahlk�rperfall

Abstract

Nach einem Satz von Grothendieck ist die Struktur der maximalen zu f primen Faktorgruppe der Fundamentalgruppe einer glatten projektiven Kurve )7 fiber einem algebraisch abgeschlossenen K6rer F der Charakteristik E > 0 explizit gegeben. Ffir die maximale pro-p-Faktorgruppe fg, p 4= f, hat dies Ergebnis zur Folge, dal3 ff eine Demugkingruppe vom Rang 2g ist, wenn mit g das Geschlecht von X bezeichnet wird. Genauer gibt es 2g Erzeugende von ~ mit der einzigen definierenden RelationWird dieses Resultat ffir einen algebraischen Funktionenk6rper o~ff in einer Variablen mit endlichem Konstantenk6rper F der Charakteristik E formuliert, so besagt es, dab die Galoisgruppe der maximalen unverzweigten p-Erweiterung s fiber dem K6rper J*ffff die oben angegebene Struktur besitzt.Es stellt sich nun die Frage, ob dies ffir alle globalen K6rper zutrifft, d.h. ob auch im Fall eines algebraischen Zahlk6rpers eine Galoiserweiterung vom Poincar6-Typ existiert. Da im Funktionenk6rperfall das obige Ergebnis richtig bleibt, wenn der algebraische AbschluB F durch die Erweiterung F~ von F ersetzt wird, die durch Adjunktion aller Einheitswurzeln von p-Potenz-Ordnung entsteht (evtl. ist F durch eine endliche Erweiterung zu ersetzen), k6nnte man ein analoges Resultat ffir die Galoisgruppe G = G(5~/,~o~) der maximalen unverzweigten pErweiterung s der zyklotomischen F-Erweiterung ~ffoo von OF erwarten. Doch wfirde dies die Existenz einer Funktionalgleichung tier rationalen Funktion ~(~, t) = Hi(G, Qv)) ~-1;+1 i nach sich ziehen (7, ein erzeugendes Element von F = G(JUg~/o,~g)) und unter Annahme der Hauptvermutung der Iwasawa-Theorie auch eine Funktionalgleichung ffir die p-adische Zetafunktion von ~. Nun existieren aber Zahlk6rper ffir die der Qp-Vektorraum H 1 (G(L~/o,~ff~), Qp) von ungerader Dimension ist (z.B.~"= ~(~37)) und somit kann es keine nicht-ausgeartete, schiefsymmetrische Paarung auf diesem Raum geben.

Finiteness Conjectures for Fl[[T]]-Analytic Extensions of Number Fields

“…Following [19], we callẼ the maximal outside l unramified extension of E which is positively ramified at all places above l. In [20], the term positively decomposed is used instead of positively ramified.…”

On Demuskin groups with involution

“…positively decomposed) extensions used in [7], [8], [9]. In order to prove the theorem we use the action of the Galois group A=G(k/k + ) on the pro-/?-group G(£g /k^) and the general theory developed in the following section.…”

“…This proof is much easier than the original one and the result is more general since the primes above/? are allowed to split in the extension k/k + (see [7], Theorem).…”

Positiv-zerlegte p-Erweiterungen algebraischer Zahlkörper.

“…(In [12] wurde Κ Σ mit & bezeichnet). Im folgenden seien immer die beiden Bedingungen ; f r alle peS p (K + ) erf llt.…”

“…Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 5/27/15 12:56 AM ist ^ = proj°res und A* die zur Diagonaleinbettung der /?-ten Einheitswurzeln in die lokalen Gruppen duale Abbildung; ferner ist wegen [12], Satz 1. 11 die Zeile exakt.…”