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Das Ziel dieser Arbeit ist die Beschreibung der absoluten Galoisgruppe G k eines p-adischen Zahlk6rpers k tiber II~p, p4=2, durch Erzeugende und Relationen.Nach Hasse [-4] und lwasawa [-5] besitzt die Galoisgruppe ~=G(T/k) der maximalen zahm-verzweigten Erweiterung T von k Erzeugende a und z mit der definierenden Relation aza -~ =rq, q die M~ichtigkeit des Restklassenk6r-pers yon k. Die Gruppe /~r der Einheitswurzeln yon p-Potenz-Ordnung in T hat eine endliche Ordnung p~, s> 1, und die Operation yon a und z auf #r wird durch zwei Zahlen g, hegp gegeben derart, dab

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Nach einem Satz von Grothendieck ist die Struktur der maximalen zu f primen Faktorgruppe der Fundamentalgruppe einer glatten projektiven Kurve )7 fiber einem algebraisch abgeschlossenen K6rer F der Charakteristik E > 0 explizit gegeben. Ffir die maximale pro-p-Faktorgruppe fg, p 4= f, hat dies Ergebnis zur Folge, dal3 ff eine Demugkingruppe vom Rang 2g ist, wenn mit g das Geschlecht von X bezeichnet wird. Genauer gibt es 2g Erzeugende von ~ mit der einzigen definierenden RelationWird dieses Resultat ffir einen algebraischen Funktionenk6rper o~ff in einer Variablen mit endlichem Konstantenk6rper F der Charakteristik E formuliert, so besagt es, dab die Galoisgruppe der maximalen unverzweigten p-Erweiterung s fiber dem K6rper J*ffff die oben angegebene Struktur besitzt.Es stellt sich nun die Frage, ob dies ffir alle globalen K6rper zutrifft, d.h. ob auch im Fall eines algebraischen Zahlk6rpers eine Galoiserweiterung vom Poincar6-Typ existiert. Da im Funktionenk6rperfall das obige Ergebnis richtig bleibt, wenn der algebraische AbschluB F durch die Erweiterung F~ von F ersetzt wird, die durch Adjunktion aller Einheitswurzeln von p-Potenz-Ordnung entsteht (evtl. ist F durch eine endliche Erweiterung zu ersetzen), k6nnte man ein analoges Resultat ffir die Galoisgruppe G = G(5~/,~o~) der maximalen unverzweigten pErweiterung s der zyklotomischen F-Erweiterung ~ffoo von OF erwarten. Doch wfirde dies die Existenz einer Funktionalgleichung tier rationalen Funktion ~(~, t) = Hi(G, Qv)) ~-1;+1 i nach sich ziehen (7, ein erzeugendes Element von F = G(JUg~/o,~g)) und unter Annahme der Hauptvermutung der Iwasawa-Theorie auch eine Funktionalgleichung ffir die p-adische Zetafunktion von ~. Nun existieren aber Zahlk6rper ffir die der Qp-Vektorraum H 1 (G(L~/o,~ff~), Qp) von ungerader Dimension ist (z.B.~"= ~(~37)) und somit kann es keine nicht-ausgeartete, schiefsymmetrische Paarung auf diesem Raum geben.