Explicit expression of Cartan’s connection for Levi-nondegenerate 3-manifolds in complex surfaces, and identification of the Heisenberg sphere

Abstract

We study effectively the Cartan geometry of Levi-nondegenerate C 6-smooth hypersurfaces M 3 in ℂ2. Notably, we present the so-called curvature function of a related Tanaka-type normal connection explicitly in terms of a graphing function for M, which is the initial, single available datum. Vanishing of this curvature function then characterizes explicitly the local biholomorphic equivalence of such M 3 ⊂ ℂ2 to the Heisenberg sphere ℍ3, such M’s being necessarily real analytic.

Задача эквивалентности Картана для невырожденных по Леви вещественных гиперповерхностей $M^3\subset\mathbb C^2$

“…Можно было бы полностью расписать функцию P в терминах задающей график функции ϕ. В обозначениях из [1] имеем…”

“…42 расширенного arxiv.org-варианта работы [1]. Поскольку вычисления в терминах ϕ неминуемо приводят к "пе-реполнению" (см.…”

“…МЕРКЕР, М. САБЗЕВАРИ верхностями, чтобы его результат эффективно выражался в терминах един-ственного данного ϕ этой задачи. В работе [1], мы, вдохновленные обзором [10], уже осуществили, следуя под-ходу Танаки, эффективное построение геометрии Картана, инвариантно ас-социированной с такими M 3 ⊂ C 2 . В качестве основного результата мы яв-но вычислили оба существенных вещественных коэффициента кривизны этой геометрии, обращение которых в нуль характеризует гиперповерхности M , би-голоморфно эквивалентные сфере Гейзенберга v = zz (см.…”

“…Наконец, в § 5 мы вкратце обсуждаем геометрию Картана-Танаки рассмат-риваемых гиперповерхностей M 3 и, зная результаты статей [1], [10], убежда-емся в том, что задача эквивалентности этих гиперповерхностей согласована с их геометрией Картана, так что ее комплексный существенный примарный инвариант J может быть эффективно выражен через два вещественных су-щественных примарных инварианта, найденных в [1] (это также согласуется с результатами из [11]). Теорема 1.1 (см.…”

“…В дальнейшем все возникающие у нас инвариантные объекты (векторные поля, дифференциальные формы, коэффи-циенты кручения, существенные функции) будут зависеть только от функции ϕ и ее частных производных по трем (двум комплексным и одной вещественной) исходным координатам (z, z, u), рассматриваемым как внутренние координаты на M 3 . Согласно [1], [12], [20] …”