Flexible Octahedra in the Hyperbolic Space

Flexible cross-polytopes in spaces of constant curvature

“…Now, the formulae a p = a p c p and formulae (9) determine the butterfly B. If X n = S n , then the signs ± in (19), (20) may be chosen arbitrarily. Hence the butterfly B is determined up to isometry, and up to replacing some of its vertices by their antipodes.…”

“…. , n n , and let the numbers a p and b p be given by (19), (20). (The signs are chosen arbitrarily if X n = S n , and are chosen so that the vectors a p = a p c p and the vectors b 0 p given by (8) belong to Λ n if X n = Λ n .)…”

“…In the spherical and the Lobachevsky cases, i. e., for det G = 0, the numbers a p and b p are given by (19) and (20). If X n = S n , then the numbers a p and b p are always well defined (up to signs), hence, for each positive definite G with units on the diagonal and each λ such that λ p = ±λ q unless p = q, we obtain the corresponding flexible crosspolytope in S n with the parametrization given by the same formulae (30) and (31), where c 1 , .…”

“…First, one can replace E 3 with the spaces of constant positive or negative curvature, i. e., the sphere S 3 or the Lobachevsky space Λ 3 . Stachel [19] showed that all three types of Bricard's flexible octahedra exist both in S 3 and in Λ 3 . However, the complete classification of flexible octahedra in the sphere and in the Lobachevsky space has not been known.…”

Алгебраические Методы Решения Многогранников

“…Между тем вопрос о поведе-нии объема многогранника в сферическом или гиперболическом пространстве при его изгибании содержателен, так как в обоих пространствах существуют изгибаемые многогранники. Для сферического пространства это установлено в [73], а для гиперболического пространства -в работе [87], в которой дока-зано, что изгибаемые октаэдры в гиперболическом пространстве содержат по крайней мере те же три типа, что найдены Брикаром в евклидовом случае. Но подходов к нахождению общей формулы объема для семейства изометричных многогранников не видно.…”