Generating limit cycles from a nilpotent critical point via normal forms

Alvarez, Manuel; Gasull, Armengol

doi:10.1016/j.jmaa.2005.05.064

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“…To the best of our knowledge, there are essentially three different ways, the normal form theory [6], the Poincaré return map [12] and Lyapunov functions [13], of studying the center-focus problem of nilpotent critical points, see for instance [3,14,15]. On the other hand, the three tools mentioned above have been also used to generate limit cycles from the critical point, see for instance [15][16][17], respectively.…”

Section: Introduction and Statement Of The Main Resultsmentioning

confidence: 99%

“…Let N(n) be the maximum possible number of limit cycles bifurcating from nilpotent critical points for analytic vector fields of degree n. The authors of [16] got N(3) ≥ 2, N(5) ≥ 5, N(7) ≥ 9; The authors of [15] got N(3) ≥ 3, N(5) ≥ 5; For a family of Kukles system with six parameters, the authors of [17] got N(3) ≥ 3. The authors of [21,22] got N(3) ≥ 7 and N(3) ≥ 8, respectively.…”

Section: Introduction and Statement Of The Main Resultsmentioning

confidence: 99%

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Local bifurcation of limit cycles and center problem for a class of quintic nilpotent systems

Liu

2012

Adv Differ Equ

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For a class of fifth degree nilpotent system, the shortened expressions of the first eight quasi-Lyapunov constants are presented. It is shown that the origin is a center if and only if the first eight quasi-Lyapunov constants are zeros. Under a small perturbation, the conclusion that eight limit cycles can be created from the eightorder weakened focus is vigorously proved. It is different from the usual Hopf bifurcation of limit cycles created from an elementary critical point. Mathematical Subject Classification: 34C07; 37G10.

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Section: Introduction and Statement Of The Main Resultsmentioning

confidence: 99%

Section: Introduction and Statement Of The Main Resultsmentioning

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Local bifurcation of limit cycles and center problem for a class of quintic nilpotent systems

Liu

2012

Adv Differ Equ

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“…In [10], Takens proved that Lyapunov system can be formally transformed into a generalized Liénard system. Furthermore, in [11], Álvarez and Gasull proved that the generalized Lienard system could be simplified even more by a reparametrization of the time. At the same time, Giacomini et al [12,13] proved that the analytic nilpotent systems with a center can be expressed as limit of non-degenerate systems with a center.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…Let N(n) be the maximum possible number of limit cycles bifurcating from nilpotent critical points for analytic vector fields of degree n. It was found that N(3) ≥ 2, N(5) ≥ 5, N(7) ≥ 9 in [23], N(3) ≥ 3, N(5) ≥ 5 in [17], and for Kukles system with six parameters N(3) ≥ 3 in [11]. Recently, Yirong Liu and Jibin Li proved that N(3) ≥ 8 in [24].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Local bifurcation of limit cycles and integrability of a class of nilpotent systems

Jin

2012

Adv Differ Equ

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In this article, center conditions and bifurcation of limit cycles at the nilpotent critical point in a class of seventh-degree systems are investigated. With the help of computer algebra system MATHEMATICA, the first 13 quasi-Lyapunov constants are deduced. As a result, sufficient and necessary conditions in order to have a center are obtained. The result that there exist 13 small amplitude limit cycles created from the three-order nilpotent critical point is also proved. Henceforth, we give a lower bound of cyclicity of three-order nilpotent critical point for seventh-degree nilpotent systems. MSC: 34C05; 34C07.

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“…Este caso é um dos mais investigados até hoje, com grande número de artigos publicados a respeito -cf. [1,2,23,25,29];…”

Section: Introductionunclassified

O problema do centro-foco para singularidades nilpotentes no plano

Itikawa¹

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AgradecimentosA produção intelectual, sobretudo a acadêmica, costuma ser apresentada em seu formato final, acabado. Oculta-se, assim, a falta de inspiração, a síndrome da folha branca, os momentos de lassidão e fadiga, e mesmo os instantes de inspiração fulgurante, que resultam na solução de um problema difícil ou no vislumbre de uma demonstração há muito procurada.Neste trabalho não foi diferente, e tenho certeza que não o será em outros que virão.Mas é inegável a sua importância em minha vida. É o resultado de escolhas que fiz ao longo desses anos, algumas delas bastante difíceis; é o ápice de muitas conquistas que me exigiram grande esforço e muita força de vontade. Não me arrependo de minhas escolhas e orgulho-me de minhas conquistas. Acima de tudo, sou grato pelo afeto, apoio, incentivo e compreensão que recebi ao longo desse tempo, sem os quais certamente não poderia ir tão longe. Chego até aqui com o sentimento de dever cumprido, mas não satisfeito. Mais escolhas e conquistas ainda estão por vir e quero sempre ir além.Agradeço à minha mãe, Judith, e ao meu pai, Katuhide, por todo afeto, confiança, respeito e dedicação. Pelo exemplo de coragem, força, humildade e determinação.Atribuem a Bertrand Russell uma frase maravilhosa: "os nossos pais amam-nos porque somos seus filhos, é um fato inalterável. Nos momentos de sucesso, isso pode parecer irrelevante, mas nas ocasiões de fracasso, oferecem um consolo e uma segurança que não se encontram em qualquer outro lugar." Obrigado pai e mãe por sempre acreditarem em mim, mesmo quando eu mesmo deixei de acreditar! À minha irmã Katielly, tão mais jovem que eu, mas tão mais madura e sábia. Dona de um coração abnegado e afetuoso, a quem confio minhas maiores tristezas e compartilho sempre as grandes e pequenas alegrias.Ao meu irmão Mauricio, que, com seu jeito reservado e mesmo morando tão longe, está sempre zelando pelo bem estar da família. Quando precisei, não hesitou. Largou tudo e foi em meu socorro.À professora Regilene, pela competência, amizade e confiança. Sua mão segura me guiou nos primeiros passos da pesquisa acadêmica com maestria, dedicação e paciência.Nesses anos todos, tive a felicidade de encontrar algumas pessoas especiais, amigos para a vida inteira. Sou-lhes muito grato pelo apoio e amizade. Agradeço especialmente ao Marco Queiroz e à Liane Weismann, por seu afeto, sabedoria e disponibilidade para me ouvir; ao Caio Areias, pelas intermináveis conversas, muitas delas discussões acaloradas que invariavelmente terminavam em boas risadas; à Irene Carvalho, amiga fiel de tantos anos; à Noemi Rocha, minha grande companheira nesses anos todos no ICMC; à Adriana Pereira Gomes, uma das almas mais generosas que já conheci; ao Silas Vaz da Silva, por me ensinar o valor da ética profissional e pela amizade duradoura; à Leila Karina (in memoriam), cujo afeto e alegria estão indeléveis em meu coração.Aos professores e mestres Paulo "Jacaré" Almeida, Cláudia Cueva Cândido, João Eduardo Kogler Jr., José Jaime Cruz e Maria Aparecida Soares Ruas, pelo incentivo, apo...

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Generating limit cycles from a nilpotent critical point via normal forms

Abstract: It is well known that the normal form theory can be applied to solve the center-focus problem for monodromic planar nilpotent singularities. In this paper we see how this theory can also be applied to generate limit cycles from this type of singularities.

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Local bifurcation of limit cycles and center problem for a class of quintic nilpotent systems

Local bifurcation of limit cycles and center problem for a class of quintic nilpotent systems

Local bifurcation of limit cycles and integrability of a class of nilpotent systems

O problema do centro-foco para singularidades nilpotentes no plano

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