Gradient extremum seeking for static maps with actuation dynamics governed by diffusion PDEs

Anais Do 14º Simpósio Brasileiro De Automação Inteligente

Feiling

Krstić

2019

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We present a generalization of the scalar Newton-based extremum seeking algorithm, which maximizes the map's higher derivatives in the presence of Partial Differential Equation (PDE) dynamics described by Reaction-Advection-Diffusion (RAD) equations. Basically, the effects of the PDE dynamics in the additive dither signals are canceled out using the trajectory generation paradigm. Moreover, the inclusion of a boundary control for the RAD process stabilizes the closed-loop feedback system. By properly demodulating the map output corresponding to the manner in which it is perturbed, the extremum seeking algorithm maximizes the n-th derivative only through measurements of the own map. The RAD compensator employs the same perturbation-based (averaging-based) estimate for the Hessian's inverse of the function to be maximized provided by a differential Riccati equation applied in the previous publications free of PDEs. We prove local stability of the algorithm, maximization of the map sensitivity and convergence to a small neighborhood of the desired (unknown) extremum by means of backstepping transformation, Lyapunov functional and the theory of averaging in infinite dimensions. Resumo: Apresenta-se uma generalização para a busca extremal escalar baseada no método de Newton, que maximiza as derivadas do mapa na presença de dinâmica descrita por Equação Diferencial Parcial (EDP) através de equações de Reação-Difusão-Advecção (RDA). Basicamente, o efeito da EDP nos sinais de excitação aditivaé cancelado usando o paradigma de geração de trajetória. Além disso, a inclusão de um controle de fronteira para o processo RDA estabiliza o sistema em malha fechada. O algoritmo de busca extremal maximiza apenas a derivada n-ésima através de medições do próprio mapa através de uma demodulação adequada da saída. O compensador RDA emprega a mesma estimativa baseada em perturbações (baseada na média) para a inversa da Hessiana a ser maximizada por meio de uma equação diferencial de Riccati, já conhecida de publicações anteriores para o cenário livres de EDPs. Ao final, provase a estabilidade local do algoritmo, a maximização da sensibilidade do mapa e convergência para uma pequena vizinhança do extremo desejado (desconhecido) por meio da transformação backstepping, funcional de Lyapunov e a teoria da média em dimensões infinitas.

“…Em contraste com a dinâmica de atuação governada por EDPs de difusão (Feiling et al, 2018), (Oliveira et al, 2018), tem-se θ * = Θ * em geral. A relaçãoé dada por…”

Section: Equações Da Busca Extremalunclassified

Section: Sistema Médio De Malha Fechada E Sua Estabilidadeunclassified

Section: Introductionunclassified

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Busca Extremal para Maximização de Derivadas de Ordem Superior de Mapas Desconhecidos em Cascata com EDPs de Reação-Advecção-Difusão

Anais Do 14º Simpósio Brasileiro De Automação Inteligente

Feiling

Krstić

2019

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“…Em particular, apenas Equações Diferenciais Parciais (EDPs) hiperbólicas de transporte de primeira ordem são originalmente consideradas em (Oliveira et al (2017)) para representar atrasos. Esta ideia chave tem permitido o desenvolvimento de extensões para outras classes de EDPs, tais como as descritas fenômeno de difusão estudadas em (Feiling et al (2018) e Oliveira et al (2018)).…”

Section: Introductionunclassified

Compensação de EDPs da onda na dinâmica de atuação para busca extremal

Anais Do 14º Simpósio Brasileiro De Automação Inteligente

Albuquerque

2019

Gradient extremum seeking for compensating wave actuator dynamics in cascade with static scalar maps is addressed in the present paper. This class of Partial Differential Equations (PDEs) for extremum seeking has not been studied yet. A dynamic feedback control law based on distributed parameters is proposed by employing backstepping transformation with an appropriate target system and an adequate formulation using Neumann interconnections. Local stability and convergence to a small neighborhood of the desired (but unknown) extremum is proved by means of a Lyapunov functional and the theory of averaging in infinite dimensions. Numerical simulations illustrate the theoretical results. Resumo: Neste artigo é apresentado um controlador por busca extremal baseado no método gradiente para compensar a dinâmica de atuação com dimensão infinita do tipo equação da onda em cascata com um mapeamento escalar estático desconhecido. Esta classe de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) ainda não havia sido estudada para busca extremal. Uma lei de controle dinâmica baseada em parâmetros distribuídos é proposta fazendo uso da transformação backstepping com sistema alvo apropriado e adequada formulação usando interconexões de Neumann. A estabilidade local e a convergência para uma pequena vizinhança do extremo (desconhecido) desejado são provadas por meio de um funcional de Lyapunov e a teoria da média em dimensões infinitas. Simulações numéricas ilustram os resultados teóricos.

Extremum seeking for unknown scalar maps in cascade with a class of parabolic partial differential equations

Adaptive Control & Signal

Feiling

Koga

et al. 2020

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Summary We present a generalization of the scalar gradient extremum seeking (ES) algorithm, which maximizes static maps in the presence of infinite‐dimensional dynamics described by parabolic partial differential equations (PDEs). The PDE dynamics contains reaction‐advection‐diffusion (RAD) like terms. Basically, the effects of the PDE dynamics in the additive dither signals are canceled out using the trajectory generation paradigm. Moreover, the inclusion of a boundary control for the PDE process stabilizes the closed‐loop feedback system. By properly demodulating the map output corresponding to the manner in which it is perturbed, the ES algorithm maximizes the output of the unknown map. In particular, our parabolic PDE compensator employs the same perturbation‐based (averaging‐based) estimate for the Hessian of the function to be maximized applied in the previous publications free of PDEs. We prove local stability of the algorithm, real‐time maximization of the map and convergence to a small neighborhood of the desired (unknown) extremum by means of backstepping transformation, Lyapunov functional and the theory of averaging in infinite dimensions. Finally, we present the generalization to the scalar Newton‐based ES algorithm, which maximizes the map's higher derivatives in the presence of RAD‐like dynamics. By modifying the demodulating signals, the ES algorithm maximizes the nth derivative only through measurements of the own map. The Newton‐based ES approach removes the dependence of the convergence rate on the unknown Hessian of the higher derivative, an effort to improve performance and remove limitations of standard gradient‐based ES. Numerical examples support the theoretical results.