Having a Small Weight is Determined by the Small Subspaces

Abstract

Abstract. We show that for every cardinal k > <•> and an arbitrary topological space AT if we have w(Y) < k whenever Y c X and | Y\ < k then w(X) < k as well. M. G. Tkacenko proved this for T3 spaces in [2]. We also prove an analogous statement for the «--weight if k is regular.The main aim of this paper is to prove the following result.Theorem. Let X be an arbitrary topological space and k > a a (regular) cardinal. If w'Y) < k (it(Y) < k) holds whenever Y c X and \Y\ < k then w(X) < k (ir(X) <k).In [2] M. G. Tkacenko proved this (with w only) for T3 spaces and raised the question whether T3 could be replaced by T2. As we see, actually no separation axiom is needed.We start to prove our theorem by establishing a lemma which might be of some interest in itself. We shall need the following piece of notation in stating it and also later. For an arbitrary set X, a family S of subsets of X and Y c X we put S \ y = {S n Y: S E S }, the trace of S on Y.Lemma. Let X be an arbitrary topological space and k > w be a regular cardinal. Moreover let (Ya: a E k) be an increasing sequence of subspaces of X (i.e. Ya c Yß if a < ß). If § is a family of open subsets of X such that G \ Ya is a base (tr-base) Sor Ya for each a E k, then G [ Y is also a base (ir-base) for Y = U { Ya: a G k) provided that X contains no ¡eft-separated subspace of cardinality k (or equivalents, every subspace of X has a dense subset of cardinality less than k, cf. [1]).Proof. We shall give the proof for the case of a base only, since that of the ir-base is completely analogous. Suppose, on the contrary, that § \ Y is not a base for Y.

Reflecting character and pseudocharacter

“…The first systematic study of reflection theorems for cardinal functions was done by Hodel and Vaughan in [8], after some studies done by Tkačenko in [17], Juhász in [10], and the result of Hajnal and Juhász in [6] that the weight reflects all infinite cardinals, among others. Hodel and Vaughan give in [8] the following definition: Definition 1.1 ([8]).…”

Reflexão de funções cardinais e da metrizabilidade

“…Provemos que ω ⊆ M; para tanto, provaremos que M é um conjunto indutivo 16 . Temos, do axioma da existência do conjunto vazio, que…”

“…e, da unicidade do conjunto vazio -garantida pelo axioma da extensionalidade -, segue que Procedamos agora às construções de submodelos elementares de H θ que utilizaremos nesta dissertação. Note que, ao obtermos um submodelo elementar M de H θ utilizando apenas o 16 Um conjunto I é dito indutivo se, e somente se, ∅ ∈ I e, para todo x ∈ I, tem-se que x ∪ {x} ∈ I.…”

“…≤κ + e t(Y ) ≥ κ + , pois t(z, Y ) ≥ κ + -de fato, z ∈ {x α | α ∈ κ + } e, como a seqüência é livre, para todo α ∈ κ + tem-se que z / ∈ {x β | β ∈ α}; assim, a regularidade de κ + implica que, se A ⊆ {x α | α ∈ κ + } é tal que |A| ≤ κ, então z / ∈ A. q.e.d. 16 Os enunciados originais dos teoremas 2.…”

Reflexão de funções cardinais

“…Os primeiros estudos sobre re ‡exão de funções cardinais e conceitos relacionados foram realizados por Tkaµ cenko [43] e Juhász [24]. Um marco importante neste tópico foi o Teorema de Hajnal e Juhász de re ‡exão do peso [20]. Posteriormente, outra contribuição importante foi o Teorema de Dow de re ‡exão da metrizabilidade [11] [10], não apenas pelo resultado, mas pela introdução da técnica de submodelos elementares em problemas de Topologia Geral.…”