<i>Statistical Mechanics of Phase Transitions</i>

Yeomans, Julia M.; Rudnick, Joseph

doi:10.1063/1.2808979

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“…A solução exata do modelo de Ising mostra que a correlação G(r) entre dois spins separados pela distância r numa redeé proporcional a e −r/ξ , onde ξ e denominado comprimento de correlação [10]. Dois spins separados por r < ξ estão fortemente correlacionados.…”

Section: Aproximação De Bethe-peierlsunclassified

“…Vamos ver detalhadamente como essas duas teorias de campo médio, a de PW e a de BP, se aplicam no caso de um modelo bem simples mas de grande importância: o modelo de Ising. Os resultados aqui demonstrados podem ser encontrados em diversas referências [7,8,9,10]. No entanto, comumente as teorias de campo médio são apresentadas utilizandose análise combinatorial (istoé, atráves de contagens de spins, ou pares de spins, numa determinada rede), nem sempre tãoóbvia [7,8].…”

Section: Introductionunclassified

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A aproximação de campo médio de Bethe-Peierls

Stein-Barana¹,

Yoshida²,

Líbero³

2004

Rev. Bras. Ens. Fis.

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As aproximações de campo médio de Pierre Weiss e de Bethe-Peierls são implementadas para o modelo de Ising para ferromagnetismo, salientando-se o papel das flutuações espaciais dos momentos magnéticos localizados. Na aproximação de Bethe-Peierls, embora a Hamiltoniana não seja de partículas independentes, nós mostramos uma forma simples de se obter a energia média da rede utilizando a função de correlação spinspin. Nós também comparamos a correlação de spins primeiros vizinhos calculada em ambas as aproximações com a solução exata para o sistema bidimensional de spins 1/2. Essa comparação deixa clara a supremacia da aproximação Bethe-Peierls sobre a de Pierre Weiss. Palavras-chave: campo médio, Bethe-Peierls, Ising.The Pierre Weiss and Bethe-Peierls mean-field approximations are implemented for the ferromagnetic Ising model, with emphasis in the spatial fluctuations of the localized magnetic moments. Although in the BethePeierls approximation we do not have a single-particle Hamiltonian, we present a simple way to obtain the mean energy of the lattice using the spin-spin correlation function. We also compare the next-nearest neighbor spin-spin correlation calculated in both mean-field approximations with the exact result for the two-dimensional lattice of 1/2 spin. This comparison shows clearly the supremacy of the Bethe-Peierls method over the Pierre Weiss one. Keywords: mean-field, Bethe-Peierls, Ising. IntroduçãoO começo do século passado marca o início da aplicação da Mecânica Estatística ao estudo dos materiais ferromagnéticos, ou seja, daqueles materiais que abaixo (acima) de determinada temperatura apresentam (não apresentam) magnetização espontânea, istoé, magnetização mesmo na ausência de campo externo. Exemplos eram conhecidos, como Fe, Ni e Co, e ligas contendo esses materiais. O grande nome nesse estudoé o de Pierre Weiss, que introduziu a idéia de que cada domínio magnético num material está sujeito a um campo proporcionalà magnetização total da amostra [1]. Esse campo, denominado molecular ou de Weiss, deve-seàs interações de troca entre os momentos magnéticos do material, algo que naépoca de Weiss era desconhecido e cuja origem foi elucidada somente com a teoria de Heisenberg [2]. A teoria de Weissé aproximada e constata-se que melhorias são necessárias quando se confronta as suas previsões com os resultados experimentais. Dentre as muitas tentativas para se construir uma teoria melhor está a aplicação feita por P.R. Weiss [3] (que nãoé o Pierre Weiss) da teoria de Bethe e Peierls [4,5], cuja idéia para descrever o ferromagnetismoé bem simples: considera-se de forma exata a interação entre um determinado momento magnético e seus primeiros vizinhos, enquanto estes por sua vez são submetidos a um campo molecular análogo aquele proposto por Pierre Weiss.

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Section: Aproximação De Bethe-peierlsunclassified

Section: Introductionunclassified

A aproximação de campo médio de Bethe-Peierls

Stein-Barana¹,

Yoshida²,

Líbero³

2004

Rev. Bras. Ens. Fis.

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“…., are evolved, and (D(k)) xy denotes the element in row x and column y of the evolvement matrix D at step k. For each step described above, the energy difference can be calculated by equation (4). With the total energy difference for an arbitrary cell i, the probability W for a change of the system from a state with energy E 1 to one with energy E 2 is calculated according to the Metropolis function [21] …”

Section: Monte Carlo Simulationmentioning

confidence: 99%

“…The stochastic nature of the system behaviour will be accounted for by means of the Monte Carlo simulation via the route of statistical mechanics [21].…”

Section: Monte Carlo Simulationmentioning

confidence: 99%

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Stochastic modelling of tear behaviour of coated fabrics

Zhong

Pan

Lukáš

2004

Modelling Simul. Mater. Sci. Eng.

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A stochastic approach, using the Ising model combined with the Monte Carlo simulation, is employed to study the phenomenon of tongue tear failure in coated fabrics. The complicated mechanisms involved can be realistically simulated with a relatively simple algorithm. The important factors, especially the effects of the interphase between the coating and the fabric, and the stretched part of the material at the crack front (the del-zone) can be represented by corresponding coefficients in the Hamiltonian expression of the system. The minimization of the system Hamiltonian yields the most likely new steps for crack propagation, while the Monte Carlo method is used to select the one that will actually occur, reflecting the stochastic nature in the behaviour of real systems, indicating the usefulness of this approach in studies of similar interfacial phenomena. However, this model like many others needs to be calibrated based on data from a real system for quantitative and accurate predictions.

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Appendix A: Mathematical Complements

Baldi

Smyth

2002

Modeling the Internet and the Web: Probabilistic Methods and Algorithms

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Statistical Mechanics of Phase Transitions

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A aproximação de campo médio de Bethe-Peierls

A aproximação de campo médio de Bethe-Peierls

Stochastic modelling of tear behaviour of coated fabrics

Appendix A: Mathematical Complements

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