Invariants of PL Manifolds from Metrized Simplicial Complexes. Three-Dimensional Case

Abstract

An invariant of three-dimensional orientable manifolds is built on the base of a solution of pentagon equation expressed in terms of metric characteristics of Euclidean tetrahedra.

Геометрические Кручения И Топологическая Теория Поля В Стиле Атьи

“…Если еще учесть, что частные производные, из которых состоит матрица f 3 , обладают свойствами симметрии [10]:…”

“…Поэтому кручение, деленное на те же степени объемов всех участвующих симплексов, является инвариантом всех движений Пахнера, примером чего в настоящей статье служат формулы (3) и (5). Напомним еще, что развиваемая здесь теория начиналась [10] именно с конкретных формул, связанных с движениями Пахнера, в первую очередь с движением 2 → 3 (два тетраэдра с общей гранью заменяются на три тетраэдра с общим ребром) для трехмерных триангулированных многообразий.…”

“…Следующие две аксиомы Атьи находят параллель в нашей формуле (10). Это, в первую очередь, аксиома инволютивности, согласно которой векторное простран-ство V заменяется на двойственное пространство V * при изменении ориентации компоненты края Σ. Естественное билинейное спаривание между пространствами V и V * используется далее в аксиоме мультипликативности, описывающей поведение инвариантов при композиции кобордизмов.…”

A Euclidean Geometric Invariant of Framed (Un)Knots in Manifolds

“…Our theory, which stems from the discovery of a "Euclidean geometric" invariant of three-dimensional manifolds in paper [5], is, however, radically new, since it unites the algebraic construction of Reidemeister torsion with simplex geometrization. Historically, geometrization came first, and the Reidemeister torsion came into play only in papers [7,8] (these papers deal mainly with the case of four -dimensional manifolds, so it was this more complicated case that pressed us to clarify the algebraic nature of our constructions).…”

“…Our invariant was initially proposed in [5] for closed manifolds. The next natural step is the investigation of these invariants for manifolds with boundary.…”