Keldysh problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients in a semi-infinite parallelepiped

Abstract

ЗАДАЧА КЕЛДЫША ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ТРЕМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕВ данной статье изучена задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в полубесконечном параллелепипеде. На основании свойства полноты систем собственных функций двух одномерных спектральных задач доказана теорема единственности. Для доказательства существования решения задачи использован спектральный метод Фурье, основанный на разделении переменных. Решение поставленной задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда использованы асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, позволившие доказать сходимость ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.Ключевые слова: задача Келдыша, уравнение смешанного типа, спектральный метод, сингулярный коэффициент, функция Бесселя.

Dirichlet-Neumann Spectral Problems for Three-Dimensional Elliptic Equations With Singular Coefficients

“…Many studies have been devoted to finding eigenvalues and eigenfunctions of boundary value problems for various equations of elliptic and mixed types in the plane, among which the works [13], [14], and others should be mentioned. Problems of this type for three-dimensional elliptic and mixed equations are also well studied, for example, in works [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21].…”

Задача Келдыша Для Трехмерного Уравнения Смешанного Типа С Тремя Сингулярными Коэффициентами

“…Изучению их в смешанной области плоскости посвящены, например, работы [5] - [7] и др. Для трехмерного уравнения эллиптического и смешанного типа с сингулярными коэффициентами подобные задачи изучены в работах [8] - [13]. В данной работе будет поставлена и исследована задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в прямоугольном параллелепипеде.…”

A Problem for a Three-Dimensional Equation of Mixed Type With Singular Coefficient

“…The Tricomi problem for a mixed elliptic-hyperbolic equation in threedimensional space using the method of integral Fourier transform was first studied in [3]. After this work, a number of works appeared in which boundary value problems for various elliptic-huperbolic equations in three-dimensional domains were considered (see, for example, [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12]).…”