Linear Inhomogeneous Congruences in Continued Fractions on Finite Alphabets

Abstract

В настоящей работе рассматривается линейное неоднородное сравнение $$ ax-by\equiv t (\operatorname{mod}q) $$ и доказывается верхняя оценка для числа его решений. Здесь $a$, $b$, $t$ и $q$ - данные натуральные числа, $x$ и $y$ - взаимно простые переменные из заданного отрезка, такие что число $x/y$ раскладывается в цепную дробь с неполными частными из некоторого конечного алфавита $\mathbf{A}\subseteq\mathbb{N}$. При $t=0$ аналогичная задача была решена ранее в работе И. Д. Кана, при $\mathbf{A}=\mathbb{N}$ - в оригинальной работе Н. М. Коробова. Кроме того, в одном из новых вариантов постановки задачи на дробь $x/y$ накладывается также дополнительное ограничение в виде линейного неравенства. Библиография: 20 названий.