Non-Newtonian Comment of Lebesgue Measure in Real Numbers

Abstract

We would like to generalize to non-Newtonian real numbers the usual Lebesgue measure in real numbers. For this purpose, we introduce the Lebesgue measure on open and closed sets in non-Newtonian sense and examine their basic properties.

On non-Newtonian measure for ??closed sets

“…Theorem 1. Let F be a non-void bounded α−closed set and let S be the smallest α−closed interval containing the set F. Then the set C F S α−open [5].…”

“…Later, Duyar, Sagır and Ogur gave some basic topological properties of non-Newtonian calculus [4]. Recently, Duyar and Sagır [5] introduced the concepts of the non-Newtonian measure for open sets. For more details see [7], [8], [9], [10].…”

Newtonyen Olmayan Lebesgue Ölçüsü

“…Son yıllarda Newtonyen olmayan kalkülüs birçok yazar tarafından çalışılmıştır. Bunlardan bazıları; Çakmak ve Başar Newtonyen olmayan dizi uzayları (Çakmak ve Başar, 2012), Bashirov ve Rıza çarpımsal kompleks kalkülüs (Bashirov ve Rıza, 2011), Florak ve Assen Biomedikal görüntü analizi (Florak ve Assen, 2012), Duyar ve Oğur Newtonyen olmayan reel sayıların topolojisi (Duyar ve Oğur, 2017), Duyar ve Sağır Newtonyen olmayan açık kümelerin Lebesgue ölçüsü (Duyar ve Sağır, 2017) üzerinde çalışmalar yapmışlardır.…”

“…Bu çalışmada (Duyar ve Sağır, 2017) ve (Oğur ve Demir, 2019) çalışmalarından faydalanarak, Newtonyen olmayan iç ölçü, dış ölçü ve Lebesgue ölçüsü tanımlarının yanında ilgili temel teoremler verildi.…”

BG-Volterra İntegral Denklemleri ve BG-Diferansiyel Denklemlerle İlişkisi

“…Such as studied on can be expressed as theory of elasticity in the economy, the viscosity of the blood, computer science including image processing and artificial intelligence, biology, differential equations, functional analysis and probability theory. Non-Newtonian calculus is researched by various researchers such as Grossman (1979); Çakmak and Başar (2012Çakmak and Başar ( , 2014aÇakmak and Başar ( ,b, 2015; Türkmen ve Başar (2012a,b); Tekin and Başar (2013); Kadak and Özlük (2014); Duyar and Oğur (2017); Duyar and Sağır (2017); Erdoğan and Duyar (2018); Sağır and Erdoğan (2019); Güngör (2020). One of the most popular non-Newtonian calculus, namely, bigeometric calculus which is investigated especially by Volterra and Hostinsky (1938); Grossmann (1983); Rybaczuk and Stopel (2000) investigated the fractal growth in material science by using bigeometric calculus.…”