Nonstandard finite difference schemes for a fractional-order Brusselator system

Ongun, Mevlüde Yakit; Arslan, Damla; Garrappa, Roberto

doi:10.1186/1687-1847-2013-102

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“…O método NFSD foi proposto por Mickens e Smith (1990), e atualmenteé utilizado em várias aplicações numéricas (MICKENS; SMITH, 1990;ONGUN;ARSLAN;GARRAPPA, 2013;ZI-BAEI;NAMJOO, 2015).…”

Section: Método De Diferenças Finitasunclassified

Section: Introductionunclassified

“…Esse método consiste na diferenciação de uma função com um dado conjunto finito de valores da variável dependente em determinados pontos conhecidos da variável independente. Além disso, tal método diferentemente do clássico, que utiliza um espaçamento h fixo, leva em conta uma função denominador dependendo de h e de um conjunto de parâmetros λ , istoé, φ = φ (h, λ ) (MICKENS; SMITH, 1990;ONGUN;ARSLAN;GARRAPPA, 2013;WANG;LI, 2007).Noâmbito de cálculo de ordem não inteira há poucos algoritmos desenvolvidos. O método mais utilizado para encontrar numericamente a solução de equações fracionáriasé Adam-BashforthMoulton (ABMM) (DEMIRCI;OZALP, 2012;DIETHELM et al, 2005).…”

unclassified

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Método de diferenças finitas não local aplicado ao cálculo fracionário

Cardoso¹,

Santos²,

Camargo³

2016

C.Q.D.

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Método de diferenças finitas não clássico aplicado ao cálculo fracionárioNonstandard schemes finite difference applied to fractional calculus Resumo A teoria do cálculo fracionário tem se tornado uma importante ferramenta para descrever a dinâmica de sistemas complexos em diversasáreas do conhecimento, como física, biomatemática, química e biologia. Pelo fato de que nem todos os sistemas de equações diferenciais, de ordem inteira ou fracionária, apresentam solução analítica, surge a necessidade de obter métodos numéricos para aproximar tais soluções. Noâmbito de cálculo de ordem não inteira há poucos algoritmos desenvolvidos, então apresentamos neste trabalho um método numérico para aproximar a solução de uma equação de ordem fracionária. Este método numéricoé dado por meio de diferenças finitas não clássico. Como aplicação para o método propostoé apresentada a solução numérica para a equação logística fracionária e para o modelo de Brusselator fracionário. Esses resultados obtidos através de simulação estão de acordo com os teóricos obtidos através da análise de estabilidade encontrados na literatura. Palavras-chave: Cálculo Fracionário, Método Numérico, Equação Logística, Modelo de Brusselator. AbstractThe theory of fractional calculus has become an important tool to describe the dynamics of complex systems in several areas of knowledge, such as physics, biomathematics, chemistry and biology. Due to the fact not all differential equations presents an analytical solution, the need arises to obtain numerical methods to approximate this solutions. In the context of fractional calculus, there are a few developed algorithms, then in this paper we present an numerical method to approximate the solution of fractional equation. This method is given by nonstandard scheme finite difference. As application we shown the numerical solution to fractional logistic equation and to fractional Brusselator model. This results obtained by simulation prove the theoretical it given by stability analysis found in the literature. Keywords: Fractional Calculus, Numerical methods, Logistic Equation, Brusselator Model. IntroduçãoDurante asúltimas décadas o cálculo fracionário tem se tornado uma importante ferramenta para descrever a dinâmica de sistemas complexos em diversasáreas do conhecimento.A utilização de conceitos e técnicas do cálculo de ordem não inteira tem possibilitado importantes resultados em váriasáreas do conhecimento, como controle e robótica, circuitos elétricos, biomatemática, química, biologia, processos estocásticos, entre outros (CAMARGO; OLIVEIRA, 2015). Além dissoé uma ferramenta importante para refinar a descrição de fenômenos naturais, em particular aqueles que possuem dependência temporal (PODLUBNY, 1999).Pelo fato de que nem todos os sistemas de equações diferenciais, de ordem inteira ou fracionária, apresentam solução analítica, surge a necessidade de obter métodos numéricos para aproximar tais soluções.A essência dos métodos numéricos está na representação discreta (finita) do problema que, em geral, modela...

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Section: Método De Diferenças Finitasunclassified

Section: Introductionunclassified

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Método de diferenças finitas não local aplicado ao cálculo fracionário

Cardoso¹,

Santos²,

Camargo³

2016

C.Q.D.

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“…However, the NSFD methods, guarantee positive discrete solution for positive initial conditions [11]. Recently, several stable and positive nonstandard finite difference methods have been improved for some specific predator-prey systems and epidemic systems [3,9,10,16,[22][23][24].…”

Section: Introductionmentioning

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A nonstandard numerical scheme for a predator-prey model with Allee effect

Ongun¹,

ÖZDOĞAN²

2017

J. Nonlinear Sci. Appl.

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In this paper, we present a Lotka-Volterra predator-prey model with Allee effect. This system with general functional response has an Allee effect on prey population. A nonstandard finite difference scheme is constructed to transform the continuous time predator-prey model with Allee effect into the discrete time model. We use the Schur-Cohn criteria which deal with coefficients of the characteristic polynomial for determining the stability of discrete time system. The proposed numerical schemes preserve the positivity of the solutions with positive initial conditions. The new discrete-time model shows dynamic consistency with continuous-time model.

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Section: Introductionunclassified

Solução numérica para um sistema fracionário usando o método de diferenças finitas não exato (NSFD)

Cardoso¹,

Camargo²

2017

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo Nesse trabalhoé apresentado um método numérico para aproximar a solução de um sistema de ordem fracionária. Esse método numéricoé dado por meio de aproximações envolvendo diferenças finitas. Como aplicaçãoé apresentado o modelo de Brusselator de ordem não inteira.Palavras-chave. Cálculo Fracionário, Diferenças Finitas, Grünwald-Letnikov. IntroduçãoDurante asúltimas décadas o cálculo fracionário tem se tornado uma importante ferramenta para descrever a dinâmica de sistemas complexos em diversasáreas do conhecimento.A utilização de conceitos e técnicas do cálculo de ordem não inteira tem possibilitado importantes resultados em váriasáreas do conhecimento, como controle e robótica, circuitos elétricos, biomatemática, química, biologia, processos estocásticos, entre outros [1, 2,4,14]. Além dissoé uma ferramenta importante para refinar a descrição de fenômenos naturais, em particular aqueles que possuem dependência temporal [12].Pelo fato de que nem todos os sistemas de equações diferenciais, de ordem inteira ou fracionária, apresentam solução na forma fechada, surge a necessidade de obter métodos numéricos para aproximar tais soluções. Noâmbito de cálculo de ordem não inteira há poucos algoritmos desenvolvidos [5,6]. O método mais utilizado para encontrar numericamente a solução de equações fracionáriasé o método de Adam-Bashforth-Moulton (ABMM) [6].Por outro lado, o método de diferenças finitas não exato (NSFD) foi introduzido por [7] para encontrar a solução numérica de equações diferenciais ordinárias e parciais, e atualmente tem sido estudado em diversos campos [9,13]. Esse método consiste na diferenciação de uma função com um dado conjunto finito de valores da variável dependente em determinados pontos conhecidos da variável independente [7,9,11,15].

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Nonstandard finite difference schemes for a fractional-order Brusselator system

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Método de diferenças finitas não local aplicado ao cálculo fracionário

Método de diferenças finitas não local aplicado ao cálculo fracionário

A nonstandard numerical scheme for a predator-prey model with Allee effect

Solução numérica para um sistema fracionário usando o método de diferenças finitas não exato (NSFD)

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