Note sur les opérations de Grothendieck et la réalisation de Betti

Ayoub, Joseph

doi:10.1017/s1474748009000127

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“…Nous sommes particulièrement intéressés par le cas où f est la réalisation de Betti (construite dans [7]) mais aussi celui où f est la réalisation analytique rigide (construite dans [6]). Toutefois, les conditions d'application de notre recette sont particulièrement simples et il est probable que notre théorie s'applique dans beaucoup d'autres situations.…”

Section: La Théorie Abstraite : Construction D'algèbres De Hopf à Parunclassified

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L'algèbre de Hopf et le groupe de Galois motiviques d'un corps de caractéristique nulle, I

Ayoub

2013

Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik (Crelles Journal)

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This is the first article of a series of two, aiming at constructing and studying motivic Galois groups in the context of triangulated motives. We first develop a general formalism that allows us to associate to a monoidal functor f, satisfying some natural conditions, a Hopf algebra in the target category of f. This formalism is then applied to the Betti realization of Morel-Voevodsky motives over a base field k endowed with a complex embedding : k → . This gives a Hopf algebra Hmot(k, ) in the derived category of -vector spaces. Using the comparison theorem between singular and de Rham cohomology, we obtain an explicit description of unitary algebra Hmot(k, sigma;) showing in particular that the complex Hmot(k, ) has no homology in strictly negative degrees. We deduce from this a structure of a Hopf algebra on the zeroth homology of Hmot(k, ) whose spectrum will be called the motivic Galois group. L'ALGÈBRE DE HOPF ET LE GROUPE DE GALOIS MOTIVIQUES D'UN CORPS DE CARACTÉRISTIQUE NULLE, Ipar Joseph AyoubRésumé. -C'est le premier volet d'une série de deux articles visant à construire et étudier des groupes de Galois motiviques dans le cadre des motifs triangulés. On développe d'abord un formalisme général permettant d'associer à un foncteur monoïdal f , satisfaisant à certaines conditions naturelles, une algèbre de Hopf dans la catégorie monoïdale but de f . Ce formalisme sera ensuite appliqué à la réalisation de Betti des motifs de Morel-Voevodsky sur un corps de base k muni d'un plongement complexe σ : k → C. On obtient ainsi une algèbre de Hopf H mot (k, σ) de la catégorie dérivée des Q-espaces vectoriels. En utilisant le théorème de comparaison entre cohomologie singulière et cohomologie de De Rham, on obtient une description explicite de l'algèbre unitaire H mot (k, σ) ⊗ C montrant en particulier que le complexe H mot (k, σ) n'a pas d'homologie en degrés strictement négatifs. On en déduit une structure de Q-algèbre de Hopf sur le 0-ième groupe d'homologie de H mot (k, σ) dont le spectre sera baptisé le groupe de Galois motivique.Abstract. -This is the first article of a series of two, aiming at constructing and studying motivic Galois groups in the context of triangulated motives. We first develop a general formalism that allows us to associate to a monoidal functor f , satisfying some natural conditions, a Hopf algebra in the target category of f . This formalism is then applied to the Betti realization of MorelVoevodsky motives over a base field k endowed with a complex embedding σ : k → C. This gives a Hopf algebra H mot (k, σ) in the derived category of Q-vector spaces. Using the comparison theorem between singular and de Rham cohomology, we obtain an explicit description of unitary algebra H mot (k, σ) ⊗ C showing in particular that the complex H mot (k, σ) has no homology in strictly negative degrees. We deduce from this a structure of a Hopf algebra on the zeroth homology of H mot (k, σ) whose spectrum will be called the motivic Galois group.

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Section: La Théorie Abstraite : Construction D'algèbres De Hopf à Parunclassified

“…Suivant [7], nous savons associer à un plongement complexe σ : k → C un foncteur de réalisation de Betti. En fait, ce foncteur de réalisation existe dans quatre variantes, selon qu'on considère les motifs effectifs ou stables, avec ou sans transferts.…”

Section: Les Réalisations De Betti Et Leurs Algèbres De Hopf Motiviquesunclassified

L'algèbre de Hopf et le groupe de Galois motiviques d'un corps de caractéristique nulle, I

Ayoub

2013

Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik (Crelles Journal)

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“…L'intérêt de cette construction est de se comparer plus facilement avec son analogue topologique via la réalisation de Betti (cf. [3]). Il sera donc utile de savoir le résultat suivant.…”

Section: Il Induit Des Foncteurs Triangulésunclassified

“…Une autre différence à noter entre le cas algébrique et le cas holomorphe est que la Conjecture 1.1 a peu de chance d'être vraie si l'on fixe le nombre de variables à l'avance. Autrement dit, si f = f (z 1 , · · · , z n ) est dans le noyau (2), il est probablement nécessaire d'utiliser des fonctions g qui dépendent de plus de n + 1 variables si on veut écrire f comme une somme de termes (3).…”

Section: Introductionunclassified

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Une version relative de la conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier

Ayoub

2015

Ann. Math.

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Integrating the coefficients of this series on the n-dimensional real cube [0,1] n yields a Laurent seriesWhen F is algebraic we say that Joseph AyoubRésumé. -Nous partons d'une série F = r −∞ f r · r où est l'indéterminée et les coefficients f r = f r (z 1 , · · · , z n ) sont des fonctions holomorphes définies sur un voisinage ouvert du polydisque ferméEn intégrant les coefficients de cette série sur le n-cube réel [0, 1] n , on obtient la série de Laurent [0,1] n F. Lorsque F est algébrique nous dirons que [0,1] n F est une série de périodes. Dans cet article, nous cherchons à déterminer les séries algébriques F telles que [0,1] n F est nulle. En principle, ceci fournit des informations sur les propriétés de transcendance des séries de périodes. Notre résultat principal rappelle la conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier sous une forme remaniée. Abstract. -We start with a series F = r −∞ f r · r with indeterminate and where the coefficients f r = f r (z 1 , · · · , z n ) are holomorphic functions defined on an open neighborhood of the closed polydisc D n = {(z 1 , · · · , z n ); |z i | ≤ 1}. Integrating the coefficients of this series on the n-dimensional real cube [0,1] n yields a Laurent series [0,1] n F. When F is algebraic we say that [0,1] n F is a series of periods.

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Thick Ideals in Equivariant and Motivic Stable Homotopy Categories

Joachimi

2020

Bousfield Classes and Ohkawa's Theorem

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Note sur les opérations de Grothendieck et la réalisation de Betti

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L'algèbre de Hopf et le groupe de Galois motiviques d'un corps de caractéristique nulle, I

L'algèbre de Hopf et le groupe de Galois motiviques d'un corps de caractéristique nulle, I

Une version relative de la conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier

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