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In this article, we construct étale realization functors defined on the categories DAét(X, Λ) of étale motives (without transfers) over a scheme X. Our construction is natural and relies on a relative rigidity theorem à la Suslin-Voevodsky that we will establish first. Then, we show that these realization functors are compatible with Grothendieck operations and the "nearby cycles" functors. Along the way, we prove a number of properties concerning étale motives. LA RÉALISATION ÉTALE ET LES OPÉRATIONS DE GROTHENDIECK par Joseph AyoubRésumé. -Dans cet article, nous construisons des foncteurs de réalisation étale définis sur les caté-gories DA ét (X, Λ) des motifs étales (sans transferts) au-dessus d'un schéma X. Notre construction est naturelle et repose sur un théorème de rigidité relatif à la Suslin-Voevodsky que nous devons établir au préalable. Nous montrons ensuite que ces foncteurs sont compatibles aux opérations de Grothendieck et aux foncteurs « cycles proches ». Au passage, nous démontrons un certain nombre de propriétés concernant les motifs étales.Abstract. -In this article, we construct étale realization functors defined on the categories DA ét (X, Λ) of étale motives (without transfers) over a scheme X. Our construction is natural and relies on a relative rigidity theorem à la Suslin-Voevodsky that we will establish first. Then, we show that these realization functors are compatible with Grothendieck's operations and the "nearby cycles" functors. Along the way, we prove a number of properties concerning étale motives.

RésuméLe but de cette note est de prouver que la réalisation de Betti des motifs est compatible avec les six opérations de Grothendieck et les foncteurs cycles proches qui, dans le monde motivique, ont été étudiés par l'auteur. On reprend d'abord la construction de la réalisation de Betti. On établit ensuite des critères abstraits qui, appliqués à la réalisation de Betti, fournissent les compatibilités souhaitées, sauf celle qui concerne les foncteurs cycles proches. Ces derniers seront traités dans une section à part.

This is the first article of a series of two, aiming at constructing and studying motivic Galois groups in the context of triangulated motives. We first develop a general formalism that allows us to associate to a monoidal functor f, satisfying some natural conditions, a Hopf algebra in the target category of f. This formalism is then applied to the Betti realization of Morel-Voevodsky motives over a base field k endowed with a complex embedding : k → . This gives a Hopf algebra Hmot(k, ) in the derived category of -vector spaces. Using the comparison theorem between singular and de Rham cohomology, we obtain an explicit description of unitary algebra Hmot(k, sigma;) showing in particular that the complex Hmot(k, ) has no homology in strictly negative degrees. We deduce from this a structure of a Hopf algebra on the zeroth homology of Hmot(k, ) whose spectrum will be called the motivic Galois group. L'ALGÈBRE DE HOPF ET LE GROUPE DE GALOIS MOTIVIQUES D'UN CORPS DE CARACTÉRISTIQUE NULLE, Ipar Joseph AyoubRésumé. -C'est le premier volet d'une série de deux articles visant à construire et étudier des groupes de Galois motiviques dans le cadre des motifs triangulés. On développe d'abord un formalisme général permettant d'associer à un foncteur monoïdal f , satisfaisant à certaines conditions naturelles, une algèbre de Hopf dans la catégorie monoïdale but de f . Ce formalisme sera ensuite appliqué à la réalisation de Betti des motifs de Morel-Voevodsky sur un corps de base k muni d'un plongement complexe σ : k → C. On obtient ainsi une algèbre de Hopf H mot (k, σ) de la catégorie dérivée des Q-espaces vectoriels. En utilisant le théorème de comparaison entre cohomologie singulière et cohomologie de De Rham, on obtient une description explicite de l'algèbre unitaire H mot (k, σ) ⊗ C montrant en particulier que le complexe H mot (k, σ) n'a pas d'homologie en degrés strictement négatifs. On en déduit une structure de Q-algèbre de Hopf sur le 0-ième groupe d'homologie de H mot (k, σ) dont le spectre sera baptisé le groupe de Galois motivique.Abstract. -This is the first article of a series of two, aiming at constructing and studying motivic Galois groups in the context of triangulated motives. We first develop a general formalism that allows us to associate to a monoidal functor f , satisfying some natural conditions, a Hopf algebra in the target category of f . This formalism is then applied to the Betti realization of MorelVoevodsky motives over a base field k endowed with a complex embedding σ : k → C. This gives a Hopf algebra H mot (k, σ) in the derived category of Q-vector spaces. Using the comparison theorem between singular and de Rham cohomology, we obtain an explicit description of unitary algebra H mot (k, σ) ⊗ C showing in particular that the complex H mot (k, σ) has no homology in strictly negative degrees. We deduce from this a structure of a Hopf algebra on the zeroth homology of H mot (k, σ) whose spectrum will be called the motivic Galois group.