On a duality theorem of abelian varieties over higher dimensional local fields

Koya, Yoshihiro

doi:10.2996/kmj/1138044218

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“…Remarque 0.1. Il est vrai qu'on peut déjà trouver des résultats similaires pour les variétés abéliennes sur Q p ((t 1 ))...((t d )) dans [Koy00], mais l'article en question contient un grand nombre d'erreurs et soit le théorème principal soit la principale proposition permettant de le prouver semble erroné (voir la remarque 5.18).…”

Section: Contexte Et Motivationsunclassified

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Principe local-global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II

Izquierdo¹

2017

Bul. Soc. Math. France

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Diego IZQUIERDO le jour. Je suis aussi très reconnaissant à Jean-Louis Colliot-Thélène et à Tamás Szamuely pour leurs commentaires et leurs remarques. Je voudrais finalement remercier l'École Normale Supérieure pour ses excellentes conditions de travail. NotationsCorps. Si l est un corps, on notera l s sa clôture séparable. Si de plus l est un corps de valuation discrète complet, on notera l nr son extension non ramifiée maximale.Groupes abéliens. Pour M un groupe topologique abélien (éventuellement muni de la topologie discrète), n > 0 un entier et ℓ un nombre premier, on notera : • M tors la partie de torsion de M.• n M la partie de n-torsion de M.• M{ℓ} la partie de torsion ℓ-primaire de M.• M non−ℓ = p =ℓ M{p} où p décrit les nombres premiers différents de ℓ.• M (ℓ) le complété pour la topologie ℓ-adique de M.• M ∧ la limite projective des M/nM.• T ℓ M la limite projective des ℓ r M.• M div le sous-groupe divisible maximal de M.• M = M/M div le quotient de M par son sous-groupe divisible maximal.• M D le groupe des morphismes continus M → Q/Z. Un groupe abélien de torsion sera dit de type cofini si, pour tout entier naturel n > 0, sa n-torsion est finie. La partie ℓ-primaire d'un tel groupe est la somme directe d'un ℓ-groupe abélien fini et d'une puissance finie de Q ℓ /Z ℓ .Faisceaux et cohomologie. Sauf indication du contraire, tous les faisceaux sont considérés pour le petit site étale. Soit r ≥ 0. Pour F et G deux faisceaux fppf sur un schéma X, on note Ext r X (F, G) (ou Ext r (F, G) s'il n'y a pas d'ambigüité) le faisceau associé pour la topologie étale au préfaisceau T → Ext r T f ppf (F, G). On rappelle qu'avec cette définition, la formule de Barsotti-Weil garantit que, si A est une variété abélienne sur un corps k, alors la variété abélienne duale A t représente le faisceau Ext 1 k (A, G m ) (voir par exemple le théorème III.18.1 de [Oor66]). Par ailleurs, en mimant les notations pour les groupes abéliens, on pose, pour F un faisceau sur un schéma X et l un nombre premier, H r (X,Catégories dérivées. Nous serons amenés quelques fois à considérer des catégories dérivées. On notera alors − ⊗ L − le produit tensoriel dérivé. Corps locaux supérieurs. Les corps 0-locaux sont par définition les corps finis et le corps C((t)). Pour d ≥ 1, un corps d-local est un corps complet pour une valuation discrète dont le corps résiduel est (d − 1)-local. On remarquera que cette définition est plus générale que la définition standard. Lorsque k est un corps d-local, on notera k 0 , k 1 , ..., k d les corps tels que k 0 est fini ou C((t)), k d = k, et pour chaque i le corps k i est le corps résiduel de k i+1 . On rappelle

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Section: Contexte Et Motivationsunclassified

“…On en déduit que, parmi le théorème 1.1 et la proposition 4.1 de [Koy00], au moins l'un des deux énoncés est faux. En particulier, la preuve du théorème 1.1 de [Koy00] semble erronée et difficile à rattraper.…”

Section: Conditions Suffisantes Pour La Nullité Des β Rℓunclassified

Principe local-global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II

Izquierdo¹

2017

Bul. Soc. Math. France

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“…faux : par exemple, la courbe elliptique y 2 = x 3 + x 2 + t vérifie ρ 1 = 1. On en déduit que, parmi le théorème 1.1 et la proposition 4.1 de [Koy00], au moins l'un des deux énoncés est faux. En particulier, la preuve du théorème 1.1 de [Koy00] semble erronée et difficile à rattraper.…”

Section: Démonstration éTant Donné Queunclassified

“…Remarque 3.18. Dans l'article [Koy00], Y. Koya construit un complexe C de Gal(k s /k)-modules pour lequel la multiplication par ℓ s induit un triangle distingué…”

Section: Diego Izquierdounclassified

“…Remarque 0.1. • Il est vrai qu'on peut déjà trouver des résultats similaires pour les variétés abéliennes sur Q p ((t 1 ))...((t d )) dans [Koy00], mais l'article en question contient un grand nombre d'erreurs et soit le théorème principal soit la principale proposition permettant de le prouver semble erroné (voir la remarque 3.18). • La plupart des résultats du présent article peuvent être généralisés aux corps de la forme k((u)) et k(u) avec k = Q p ((t 1 ))...((t d )) ou k = C((t 1 ))...((t d )) : en effet, les idées sont les mêmes, mais les preuves sont beaucoup plus techniques.…”

Section: Introduction 01 Contexte Et Motivationsunclassified

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Abelian varieties for function fields of curves over local fields

Izquierdo

2017

Doc. Math.

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Soit K le corps des fonctions d'une courbe projective lisse X sur un corps p-adique ou sur C((t)). On définit les groupes de Tate-Shafarevich d'un schéma en groupes commutatif en considérant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque complété de K provenant d'un point fermé de X. On établit des théorèmes de dualité arithmétique pour les groupes de Tate-Shafarevich des variétés abéliennes sur K.Let K be the function field of a smooth projective curve X over a p-adic field or over C((t)). We define Tate-Shafarevich groups of a commutative group scheme via cohomology classes locally trivial at each completion of K coming from a closed point of X. We prove arithmetic duality theorems for Tate-Shafarevich groups of abelian varieties over K.

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On a duality theorem of abelian varieties over higher dimensional local fields

Abstract: In this paper, we prove a duality theorem of abelian varieties over higher dimensional local fields under some conditions. It might be a one of generalization of the classical Tate duality theorem of abelian varieties over local fields.

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Principe local-global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II

Principe local-global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II

Abelian varieties for function fields of curves over local fields

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