On a trivial monodromy criterion for the Sturm-Liouville equation

Ishkin, Kh. K.

doi:10.1134/s0001434613090216

Cited by 13 publications

(3 citation statements)

References 2 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Формулы (10)-(13) проверяются подстановкой в (6), а оцен-ки (14), (15) на отрезке L i следуют из известных результатов по асимптотическому разложению при |λ| → ∞ решений обобщенных уравнений Штурма -Лиувилля на отрезке действительной оси [10].…”

Section: лемма 4 для любой ограниченной областиunclassified

Inverse Problem for Sturm – Liouville Operators in the Complex Plane

Golubkov¹

2018

MMI

View full text Add to dashboard Cite

Голубков Андрей Александрович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики, Специализированный учебно-научный центр (факультет) -школа-интернат имени А. Н. Колмогорова Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (СУНЦ МГУ), Россия, 121357, Москва, Кременчугская, 11, andrej2501@yandex.ru Впервые изучена обратная задача для стандартного уравнения Штурма -Лиувилля со спектральным параметром ρ и потенциалом, кусочно-целым на спрямляемой кривой γ ⊂ C, у которой задана только начальная точка. Ограниченная на кривой γ функция Q является кусочно-целой на ней, если γ можно разбить конечным числом точек на участки, на которых Q совпадает с целыми функ-циями, различными на соседних участках. Точки разбиения, начальная и конечная точки кривой называются критическими точками. Ставится задача нахождения всех критических точек γ и по-тенциала на ней по столбцу или строке передаточной матрицыP вдоль γ. На основе полученной асимптотикиP при |ρ| → ∞ доказано, что если хотя бы один её элемент ограничен при любых ρ ∈ C, то γ после удаления всех «невидимых петель» вырождается в точку («невидимая петля» --такая петля кривой γ с заданной кусочно-целой функцией, узел которой совпадает с двумя по-следовательными критическими точками). В статье доказана единственность решения поставленной обратной задачи для кривых без «невидимых петель». На примере обратной задачи для уравнения d dx 1 r(x) dy dx + q(x) − r(x)λ 2 y(x) = 0 с кусочно-целым потенциалом q(x) и кусочно-постоянной функцией r(x) = 0 на отрезке действительной оси показана полезность полученных результатов при исследовании обратных задач для обобщенных уравнений Штурма -Лиувилля, приводимых к изученному в статье типу.Ключевые слова: уравнение Штурма -Лиувилля на кривой, кусочно-целый потенциал, передаточная матрица, асимптотика, обратная спектральная задача.

show abstract

Section: лемма 4 для любой ограниченной областиunclassified

Inverse Problem for Sturm – Liouville Operators in the Complex Plane

Golubkov¹

2018

MMI

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…2). В работах [21,22] одного из авторов показано, что спектр этого оператора локализуется около одного луча тогда и только тогда, когда потенциал допускает мероморфное продолжение в некоторую окрестность Ω кривой γ, удовлетворяющее условию тривиальной монодромии, то есть каждое решение уравнения −y ′′ + qy = λy, z ∈ Ω,…”

Section: введение обзор литературыunclassified

On the class of potentials with trivial monodromy

Ishkin¹,

Akhmetshina²

2018

JMMCS

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

Рассматривается задача описания класса T M (Ω, A) потенциалов, мероморфных в односвязной области Ω, с множеством полюсов A, удовлетворяющих условию тривиальной монодромии: любое решение соответствующего уравнения Штурма-Лиувилля при всех значениях спектрального параметра не имеет точек ветвления ни в одной точке A. Показано, что в случае конечного A линейное (относительно обычного сложения) пространство T M (Ω, A) имеет конечную размерность по модулю подпространства T M 0 (Ω, A) функций, голоморфных в Ω и имеющих в точках нули заданной кратности (своей для каждой точки). Тем самым при конечном A получено полное описание T M (Ω, A, M) в терминах любого конечного набора функций-решений интерполяционной задачи с кратными узлами в точках множества A. Полученный результат обобщает известные результаты о классах потенциалов с тривиальной монодромией на всей плоскости, убывающих на бесконечности (J.J. Duistermaat, F.A. Grünbaum) или растущих не быстрее второй (А.А. Обломков) либо шестой (J. Gibbons, A.P. Veselov) степени. В случае, когда множество A счетно и имеет единственную предельную точку, построен достаточно широкий класс функций, удовлетворяющих условию тривиальной монодромии. Ключевые слова: спектральная неустойчивость, локализация спектра, уравнение Штурма-Лиувилля, тривиальная монодромия.

show abstract

“…The results of this work can be used in the study of direct and inverse spectral problems for the Schrödinger operator of the form L c = − d 2 dx 2 + cx α + q (x). Note that the spectral properties of the Schrödinger operator of the form L c = − d 2 dx 2 + cx α studied in the works Abbasova et al (2020), ), Ishkin (2023.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%