On the Darmois-Skitovich Theorem and Spatial Independence in Blind Source Separation

Abstract

In many signal processing applications, one may come across the need to individually recover unobserved signals which are also combined in an unknown manner. This problem is widely known as blind source separation (BSS). One of the most prominent set of BSS techniques, known as independent component analysis (ICA), owes much of its development and theoretical understanding to the Darmois-Skitovich theorem. Although this theorem is implicitly used in BSS to establish source separability conditions in ICA, little emphasis is given in the literature to its derivation and to the interpretation of its consequences. The goal of this paper is to revisit, in a more intuitive manner, the Darmois-Skitovich theorem and its derivation in the BSS context.

Dynamic deconvolution and identification of independent autoregressive sources

“…This lemma has been initially introduced to prove the Darmois-Skitovich theorem, and is generally employed to analyze the identification in static ICA (see e.g. Comon, (1994, Lemma 20;Pavan and Miranda, 2018, Lemma 1).…”

Sobre a matriz de quadricovariância: definição, propriedades e aplicação

“…Essas ambiguidades são previstas pelo teorema de Darmois-Skitovich e decorrentes de limitações teóricas desse problema particular de separação cega [3], [19].…”

“…Observando-se (10), nota-se que se K s i = 0 para mais de uma fonte, então U nunca será identificável. Felizmente, exceto pelo caso gaussiano que pode ser desconsiderado por limitações teóricas [19], distribuições com autocumulante de ordem quatro nulo são pouco usuais [13]. Excluído esse caso, resta saber como garantir que Q x (V ) tenha autovalores distintos sempre, independentemente das estatísticas das fontes e das colunas de U .…”

“…Quantoà aplicação ao problema de separação cega de fontes, abordou-se e interpretou-se o procedimento de [12], [13] baseado na consideração de um conjunto de matrizes de quadricovariância para se aproximar do limite teórico de separabilidade de Darmois-Skitovich [3], [19]. No entanto, essa abordagem nãoéúnica e alternativas vêm sendo propostas na literatura, como, por exemplo, em [22], [23].…”