Operator 𝐾-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space

Abstract

Abstract. Let G be a countable discrete group which acts isometrically and metrically properly on an infinite-dimensional Euclidean space. We calculate the K-theory groups of the C * -algebras C * max (G) and C * red (G). Our result is in accordance with the Baum-Connes conjecture.

La conjecture de Baum–Connes pour les feuilletages moyennables

“…On rappelle la construction de [24]. Soit S = C(R) muni de la graduation par la parité des fonctions.…”

“…Pour simplifier les notations, on supposera que G est un groupe, mais tous les résultats de cette section restent valables pour un groupoïde localement compact avec système de Haar. L'idée d'utiliser une extension de A(H ) par les compacts est dueà [24]. Dans ce qui suit, on suppose que G agit continûment par isométries affines sur un espace Euclidien H .…”

“…L'auteur de ces lignes tient tout particulièrementà remercier G. Skandalis,à qui certaines idées apparaissant ici sont dues; P. Julg pour avoir remarqué une erreur dans une version précédente de cet article; G. Kasparov pour avoir exposé les idées de [24].…”

“…Dans [24], il est démontré que pour tout groupe discret (dénombrable) agissant proprement (au sens métrique) par isométries sur un espace affine Euclidien, l'application de Baum-Connes avec coefficients en E-théorie est un isomorphisme, et que pour toute C * -algèbre B munie d'une action de , l'élément canonique de E(B , B red ) est inversible. En particulier, l'application de Baum-Connes K top * ( ) → K * (C * r ( )) est un isomorphisme, et pour toute C * -algèbre B munie d'une action de , le morphisme canonique K * (B ) → K * (B red ) est bijectif.…”

“…Notons X = G (0) l'ensemble des unités de G. Les deux sections suivantes expliquent comment la construction de [24] se généralise dans notre cadre: en effet, la C * -algèbre A construite dans ( [24], Section 4) est une Z G-algèbre, et il est possible d'effectuer la construction 'dual Dirac-Dirac' en exhibant deséléments η ∈ KK G (C(X), A) et D ∈ KK G (A, C(X)) qui correspondentà la construction en E-théorie de [24]. Nous montrons que le produit de Kasparov η ⊗ A D estégal a 1 dans KK G (C(X), C(X)).…”