Solving Schrödinger Equation with Scattering Matrices. Bound States of Lennard-Jones Potential

Abstract

This paper presents an accurate highly efficient method for solving the bound states in the one-dimensional Schrödinger equation with an arbitrary potential. We show that the bound state energies of a general potential well can be obtained from the scattering matrices of two associated scattering potentials. Such scattering matrices can be determined with high efficiency and accuracy, leading us to a new method to find the bound state energies. Moreover, it allows us to find the associated wavefunctions, their norm, and expected values. The method is validated by comparing solutions of the harmonic oscillator and the hydrogen atom with their analytical counterparts. The energies and eigenfunctions of Lennard-Jones potential are also computed and compared to others reported in the literature. This method is highly parallelizable and produces results that reach machine precision with low computational effort. A parallel implementation of this method written in FORTRAN is included in the Supplemental material to solve eigenstates of the Lennard-Jones potential.

Расчет Резонансных Состояний Кулоновских Акцепторов В Бесщелевых Полупроводниках

“…Для решения этой проблемы можно использовать метод стрельбы, как это было сделано в работе [6], однако такой подход не очень эффективен с точки зрения времени расчета и очень сложен для реализации в случае большого количества зон. В данной работе мы предлагаем использовать метод матрицы рассеяния [7,[12][13][14]…”

Расчет температурной зависимости энергии состояний кулоновского акцептора в узкозонном твердом растворе HgCdTe

“…Данный метод уже применялся для решения уравнений с непрерывно меняющимся потенциалом [12][13][14], в том числе и в наших предыдущих работах для модели Латтинжера [15,16]. Для этого сначала ось координат разбивается на отрезки, на каждом из которых вычисляются все частные решения уравнения (4).…”

Применение Метода Матрицы Рассеяния Для Расчета Примесных Состояний В Полупроводниковых Структурах

“…Вследствие этого при численном решении уравнения Шредингера возникает сильная неустойчивость, связанная с экспоненциально растущими решениями, которая проявляется не только в запрещенной зоне, но и в области непрерывного спектра (см., например, работу [2]). Здесь представляется перспективным применение метода матрицы рассеяния [3][4][5][6], который обладает высокой численной устойчивостью. Ранее в системах с плавным потенциалом такой метод использовался только для задач с одним уравнением, что применительно к полупроводникам соответствует приближению эффективной массы.…”

“…где в качестве единиц измерения длины и энергии выбраны соответственно боровский радиус (a 0 = 2 /me 2 ) и ридберг (E 0 = me 4 /2 2 ). Точное решение этой задачи известно, и значения энергии дискретных уровней равны [6]:…”

“…Морозов, М.С. Жолудев получили тот же результат, что и в работе [6]. При этом вместо плоских волн мы использовали сферические волны, что позволило обойтись без замены искомой функции в уравнении (2) и не включать в потенциал слагаемые, зависящие от L.…”