Stationäre Verteilungen für das Erlangsche Modell

Abstract

VorbemerkungenI n der vorliegenden Arbeit wird ein stochastischer ProzeB konstruiert, der als stationarer Erlangscher BedienungsprozeB (Verlustsystein mit n Bedienern und Poissonschem Eingangsstrom) gedeutet werden kann. Im Gegensatz zu den ublichen Modellen, insbesondere auch in [4], wird die Unabhangigkeit der Belegungsdauern bei jedem einzelnen Bediener nicht mehr gefordert. Wenn nur die Folgen der Belegungen bei verschiedenen Bedienern voneinander unabhangig sind, bleibt die Gultigkeit der Erlangschen Pormeln erhalten. Dieses Ergebnis wurde bereits im Anhang von [I], sowie in [2] und [3] hergeleitet. I n den folgenden Abschnitten wird lediglich eine gegenuber [3] vereinfachte Methode vorgestellt. Definitionen und BezeiehungenMit R bezeichnen wir die reelle Achse, mit R+ den Halbstrahl [O, co) und mit 23" die a-Algebra der Borelmengen von R". Sei L eine hochstens abzahlbare Menge und M die Menge aller stiickweise konstanten, rechtsseitig stetigen Funktionen p/R + L mit der Eigenschaft, daB die Menge der Unstetigkeitsstellen von p sich nirgends in R hauft. Wir definieren eine Schar von Abbildungen n,/M + L (s E R) durch ns (p) = p (8). Daraus gewinnt man Abbildungen n,/M" -L" (s E R) rnit ~s (PI , . . ., Pn) = (ns PI . * * , ns 9 , ) * Mit ' %! werde die von den n8 (s E R) erzeugte a-Algebra voii Teilmengen von M bezeichnet, mit % I @ die Unter-o-algebra,die von no erzeugt wird. Wir setzen [ M , '%!In = [a", %?I , ] und [ M , %@In = [M", %: ] .fur jedes s € R ein Automorphismus des Raumes [ M , !JX] gegeben. Hinsichtlich der Hintereinanderausfuhrung bildeii die Elemente von S = {T8: s E R) 1 Math. Nachr. 1973, Bd. 58, H. 1-6