The C¹ Closing Lemma, including Hamiltonians

Abstract

An Axiom of Lift for classes of dynamical systems is formulated. It is shown to imply the Closing Lemma. The Lift Axiom is then verified for dynamical systems ranging from C1 diffeomorphisms to C1 Hamiltonian vector fields.

Partial hyperbolicity or dense elliptic periodic points for 𝐶¹-generic symplectic diffeomorphisms

“…The map f is transitive. Property 1 is a direct consequence of the C 1 closing lemma of Pugh and Robinson (see [20]). Properties 2 and 4 were proved by Robinson (see [22]).…”

Generic Hamiltonian Dynamical Systems: An Overview

“…The first is the celebrated Pugh's closing lemma [37 [4]. It states that the orbit of a non-wandering point can be approximated for a very long time by a closed orbit of a nearby Hamiltonian.…”

Recurrence and genericity

“…Si f est générique, on a≺ f =⊣ f d'après le théorème 6.3 ; ceci implique que f est un difféomorphisme transitif ; de plus, d'après [PR,R 1 ], ses points périodiques hyperboliques sont denses. D'après [Ar 1 , corollaire 19] dans le cadre conservatif (quand tous les points périodiques sont hyperboliques, voir [Ar 1 , paragraphe 1.5]), il existe une partie résiduelle de Diff 1 ω (M ) sur laquelle tout compact invariant transitif de M contenant un point périodique hyperbolique p est contenu dans la classe homocline de p. Ainsi, pour f ∈ Diff 1 ω (M ) générique (avec dim M ≥ 3), la variété M toute entière est incluse dans la classe homocline de chacune de ses orbites périodiques (qui sont toutes hyperboliques).…”