The local index formula in semifinite Von Neumann algebras I: Spectral flow

Abstract

We generalise the local index formula of Connes and Moscovici to the case of spectral triples for a * -subalgebra A of a general semifinite von Neumann algebra. In this setting it gives a formula for spectral flow along a path joining an unbounded self-adjoint Breuer-Fredholm operator, affiliated to the von Neumann algebra, to a unitarily equivalent operator. Our proof is novel even in the setting of the original theorem and relies on the introduction of a function valued cocycle which is 'almost' a (b, B)-cocycle in the cyclic cohomology of A.

Spectral action on noncommutative torus

“…By (2.21), we deduce therefore that f .s/ has a meromorphic continuation to the half plane D N , with only simple possible poles in the set fn C jpj 1 …”

Теория Индекса И Некоммутативная Геометрия На Многообразиях Со Слоением

“…Используя точный, нормальный полуконечный след τ на алгебре фон Нейма-на N вместо стандартного следа на алгебре L (H ), можно определить при помощи стандартных формул характер Черна произвольного (p, ∞)-суммируе-мого фредгольмова предмодуля (H , F ) и, следовательно, характер Черна лю-бой конечномерной полуконечной спектральной тройки (A , H , D). В работах [73], [74] доказана некоммутативная локальная теорема об индексе для полу-конечных спектральных троек. Ее формулировка аналогична формулировке некоммутативной локальной теоремы об индексе (см.…”

“…также [72]) построена полуконечная спектральная тройка, ассоциированная с дифференциальными операторами с почти периодическими коэффициентами. Используя полуконечную некоммутативную локальную тео-рему об индексе [73], [74] (см. п.…”

Asymptotic and Exact Expansions of Heat Traces

“…On the other hand, if we suppose that L < K then there exists α such that L < α < K. Using (8) we can find such n 0 ∈ N that log N(λ n )(log λ n ) −1 < α for any n n 0 . Then we get that N(λ n ) < λ α n for n n 0 , which contradicts the assumption α < K. Thus L = K and the proposition is proved.…”