Théorème ergodique ponctuel pour cocycle de degré deux

Degree two ergodic theorem for divergence-free stationary random fields

“…This article completes the preceding note [2], in which proofs were presented without details. In that note we presented the discrete case (action of 3 ), where the question of the definitions in the weak sense, and the problem of the existence of a continuous versionF ( f )(ω, x, y), do not appear.…”

Flux moyen d'un courant électrique dans un réseau aléatoire stationnaire de résistances

“…Dans le cas simple d'un second membre de la forme avec gj E Loo, l'équation (3) du paragraphe précédent admet dans l'espace E; la solution immédiate % § = notant A = sl et en utilisant l'identité formelle -A = cette solution s' écrit L''''' Rj = ~j -60394 est l'analogue, dans le cadre d'une action ergodique de Z3, de l'opérateur de Riesz de R3 du calcul intégral. L'objet de ce paragraphe, qui constitue une sorte d'annexe indépendante du précédent du point de vue des démonstrations, est d'en montrer la continuité dans Lp pour p > 1, et les propriétés élémentaires nécessaires à la résolution de l'équation (3) dans E;. Soit p la fonction de Z3 dans R suivante Soit P l'opérateur défini sur Lp par P f (w) _ On a alors est définie par récurrence par pi = p et la relation de convolution pn+i = Par convention po est la fonction 8 élément neutre pour la convolution: = 1 si x = 0 et 0 sinon.…”

“…Pour 0 e]0,7r/2[, Te est l'ensemble des couples (x, y) tels que le triangle de sommets (0, x, x + y) ait ses trois angles > 0. L'existence presque sûre du flux moyen du courant est alors donnée par le théorème ergodique suivant : Cette convergence est une conséquence du théorème ergodique ponctuel pour cocycle de degré 2, qui s'applique grâce à l'intégrabilité Lp, pour un p > 2 (voir la note [3]). Celle-ci est donnée par le théorème 1.…”

“…Unicité. Soit (Vl, V2 , V3 ) et ( Tli , Tl2 , V3 ) deux solutions de l'équation (3 ) dans E;. Soit Wj == Vi - proposition B, il est immédiat que la fonction (VI, Tl2 , V3 ) E LP définie par Rkhk) est la solution de l'équation (3) dans l'espace E;.…”

“…Soit Wj == Vi - proposition B, il est immédiat que la fonction (VI, Tl2 , V3 ) E LP définie par Rkhk) est la solution de l'équation (3) dans l'espace E;. La continuité de G dans L~ se déduit alors de celle de Rj dans Lp, ce qui achève la preuve de la proposition 1. On a alors la proposition suivante : Soit par l'adjoint 8j de 9~, puis en commutant la somme et l'intégrale ce qui est nul d'après l'équation (3). En laissant tendre n vers l'infini, on obtient bien ( V, h -V) = 0.…”