Tissus plans exceptionnels et fonctions thêta

Abstract

Le 5-tissu de Bol, découvert en 1936, est resté longtemps le seul exemple avéré de tissu plan exceptionnel. En 2002, Robert [16] et Pirio [13] ont trouvé un 9-et des 6-et 7-tissus plans exceptionnels, en relation avec l'équation fonctionnelle de Spence-Kummer du trilogarithme. Plus récemment encore, Pirio [14] a découvert trois nouveaux 5-tissus exceptionnels, très simples. Dans cet article, nous présentons une famille à un paramètre de 5-tissus plans exceptionnels, qui contient ces derniers comme cas limites.Dans leur présentation la plus naturelle, les tissus de cette famille sont composés d'un système harmonique de quatre faisceaux de droites parallèles, définis respectivemant par les équations {x = cte}, {y = cte}, {x + y = cte} et {x − y = cte}, et d'un feuilletage dont les feuilles sont les courbes de niveau de la fonction sn k x sn k y, où sn k est une fonction elliptique de Jacobi.

The Classification of Exceptional CDQL Webs on Compact Complex Surfaces

“…Then K(W ⊠ F ) = 0 if and only if K(W i ⊠ F ) = 0 for i = 1, 2. Translating the classification of [42] to our setup, we obtain that every flat and global 5-web on complex tori of the form [dxdy(dx − dy)(dx + dy)] ⊠ F is isogeneous to one of the 5-webs E τ (τ ∈ H) presented in the Introduction. In particular the torus T has to be isogeneous to the square of an elliptic curve.…”

“…For almost 70 years there was just one example, due to Bol [8], of exceptional planar web in the literature. Recently a number of new examples have appeared, see [40,44,42,32]. Despite these new examples, the classification problem for exceptional planar webs is wide open.…”

“…On the one hand, tang(F , L 4 ) contains the singular points of F on ℓ. Theorem 7.3 implies that its irreducible components must be irreducible cubics in the pencil < z 3 , xy(x + y) > or lines connecting p 4 to one of the 5 singularities of F at ℓ (corresponding to the 5 fixed points of the ℓ-polar map of F ). Thus, (42) tang(F , L 4 ) = (x 2 + xy + y 2 )(xy(x + y) − λ 3 ) = 0 for a certain λ 3 ∈ C.…”

Classification des tissus exceptionnels quasilinéaires complètement décomposables

“…On commence par montrer la proposition suivante : Pour τ dans le demi-plan de Poincaré H, on pose E τ = C/(Z + τ Z) et l'on note ℘ (·, τ ) la fonction ℘ de Weierstrass ainsi que ϑ i (·, τ ) les fonctions thétas (avec les notations de Jacobi) associées au réseau Z + τ Z. Les tissus E τ ont été considérés en premier lieu dans [2], sans que l'auteur ne s'intéresse à leur rang. Ils ont été redécouverts dans [12] où il est démontré que ceux-ci sont exceptionnels. À notre connaissance, les autres tissus du théorème ci-dessus n'ont jamais été considérés auparavant.…”

“…Si un seul exemple de tissu exceptionnel fut connu pendant près de 70 ans, ce n'est plus le cas puisque de nombreux exemples (et même des familles infinies) ont été mis à jour récemment [6,11,12,14].…”