Topological entropy and partially hyperbolic diffeomorphisms

Abstract

Link to this article: http://journals.cambridge.org/abstract_S0143385707000405 How to cite this article: YONGXIA HUA, RADU SAGHIN and ZHIHONG XIA (2008). Topological entropy and partially hyperbolic diffeomorphisms.Abstract. We consider partially hyperbolic diffeomorphisms on compact manifolds. We define the notion of the unstable and stable foliations stably carrying some unique nontrivial homologies. Under this topological assumption, we prove the following two results: if the center foliation is one-dimensional, then the topological entropy is locally a constant; and if the center foliation is two-dimensional, then the topological entropy is continuous on the set of all C ∞ diffeomorphisms. The proof uses a topological invariant we introduced, Yomdin's theorem on upper semi-continuity, Katok's theorem on lower semi-continuity for two-dimensional systems, and a refined Pesin-Ruelle inequality we proved for partially hyperbolic diffeomorphisms.

Intrinsic ergodicity of partially hyperbolic diffeomorphisms with a hyperbolic linear part

“…The proof of this result is based on a Pesin-Ruelle-like inequality proved by Y. Hua, R. Saghin and Z. Xia in [10]. Before going into the proof, let us introduce their result.…”

“…The aim of this description is to show that the system is, in some sense, "intrinsically Anosov". On the one hand, in Section 5 we shall prove, based on a Pesin-Ruelle-like inequality obtained by Y. Hua, R. Saghin and Z. Xia [10], that the center exponent has absolute value greater than or equal to the center exponent of its linear part if we are in the conditions of Theorem 1.1. Observe that, in particular, this implies the presence of many hyperbolic periodic points with large center eigenvalue.…”

Tangências homoclínicas, entropia e medidas de SRB

“…No trabalho [HSX08] de Hua, Saghin e Xia é apresentado um exemplo de descontinuidade da entropia para sistemas definidos em variedades de dimensões maiores ou iguais que quatro.…”

“…A entropia é estável para sistemas uniformemente hiperbólicos, isto é, permanece a mesma por pequenas perturbações do sistema. Mas em geral, a entropia não é contínua para difeomorfismo de classe C 1 , veja [Mis71], [Pol93] e [HSX08] para exemplos. Por Yomdin [Yom87] e Katok [Pol93], a entropia varia continuamente na classe de difeomorfismos C ∞ definidos numa superfície compacta.…”

“…Por Yomdin [Yom87] e Katok [Pol93], a entropia varia continuamente na classe de difeomorfismos C ∞ definidos numa superfície compacta. Em outro contexto, Hua, Saghin e Xia [HSX08] mostram que para uma grande classe de difeomorfismos C ∞ parcialmente hiperbólicos com folheações centrais bi-dimensionais (e com certas condições homológicas na variedade), a entropia topológica varia continuamente. Neste último trabalho, os autores afirmam que sem as condições sobre a homologia o resultado não é válido e eles apresentam exemplos em dimensões maiores ou iguais do que quatro onde o resultado falha sem tais hipóteses.…”