Translation-invariant and periodic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

Khakimov, R. M.; Khaydarov, F. Kh.

doi:10.1134/s004057791611009x

Cited by 16 publications

(13 citation statements)

References 7 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…1.(см. [10]) Пусть π ∈ S q−1 перестановка. Определим действие π на вектор x = (x 1 , x 2 , ..., x q−1 ) как π(x) = (x π(1) , x π(2) , ..., x π(q−1) ).…”

Section: периодические меры гиббсаunclassified

“…2. В работе [10] было доказано Утверждение 1, что при k ≥ 3, 3 ≤ q < k + 1, 0 < θ < θ cr = k−q+1 k+1 < 1 система уравнений (4.1) на инвариантном множестве I m имеет не менее трех решений x 0 < x 1 = 1 < x 2 , при θ = θ cr имеет не менее одного решения x 1 = 1 и при θ > θ cr имеет только одно решение x 1 = 1.…”

Section: периодические меры гиббсаunclassified

See 1 more Smart Citation

Translation-invariant and periodic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

Хакимов¹,

Khaidarov²

2016

TMF

View full text Add to dashboard Cite

Для ферромагнитной модели Поттса с тремя состояниями изучены трансляционноинвариантные меры Гиббса на дереве Кэли порядка k = 3 и даны явные формулы для трансляционно-инвариантных мер Гиббса. Изучаются периодические меры Гиббса для антиферромагнитной модели Поттса с q−состояниями на дереве Кэли порядка k. При этом улучшены некоторые результаты из работы [10]: на некоторых инвариантах дано точное количество периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка k ≥ 3 с периодом два. Ключевые слова: дерево Кэли, конфигурация, модель Поттса, мера Гиббса, трансляционноинвариантные меры, периодические меры. 1. Введение Известно, что каждой предельной мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы. Поэтому в теории мер Гиббса одной из важных задач является существование фазового перехода, т.е. когда физическая система меняет свое состояние при изменении температуры. Это происходит, когда мера Гиббса не единственна. При этом температура, при которой меняется состояние физической системы, обычно называется критической ( [1]-[3]). В [4] изучена ферромагнитная модель Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли второго порядка и показано существование критической температуры T c такой, что при T < T c существуют три трансляционно-инвариантных и несчетное число не трансляционноинвариантных мер Гиббса. В работе [5] обобщены результаты работы [4] для модели Поттса с конечным числом состояний на дереве Кэли произвольного (конечного) порядка. В работе [6] показано, что на дереве Кэли трансляционно-инвариантная мера Гиббса антиферромагнитной модели Поттса с внешним полем единственна. Работа [7] посвящена модели Поттса со счетным числом состояний и c ненулевым внешним полем и доказано, что эта модель имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса. В работе [8] изучены периодические меры Гиббса и при некоторых условиях доказано, что все периодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными; найдены условия, при которых модель Поттса с ненулевым внешним полем имеет периодические меры Гиббса. Работа [9] является продолжением работы [8]. Доказана существование не менее трех периодических мер Гиббса с периодом два на дереве Кэли порядка три и четыре для модели Поттса с тремя состояниями и с нулевым внешним полем. А в работе [10] 1 Институт математики, ул. Дурмон йули, 29,

show abstract

Section: периодические меры гиббсаunclassified

Translation-invariant and periodic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

Хакимов¹,

Khaidarov²

2016

TMF

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…For k = 3, J < 0 it is known (see [4]) that if 0 < θ < 1 4 then the system (3.11) has at least two solutions of the form: h = (h 1 , h 1 , h 2 , h 2 ). Now for such set of periodic vectors h x , we shall describe free energies.…”

Section: Lemma 1 For Any π There Exists the Limitmentioning

confidence: 99%

Free energies of the Potts model on a Cayley tree

Rozikov

Рахматуллаев

2017

Theor Math Phys

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Доказана существование не менее трех периодических мер Гиббса с периодом два на дереве Кэли порядка три и четыре для модели Поттса с тремя состояниями и с нулевым внешним полем. А в работе [11] изучена модель Поттса с q-состояниями на дереве Кэли порядка k ≥ 3 и на некоторых инвариантах показано существование периодических (не трансляционно-инвариантных) мер Гиббса при некоторых условиях на параметры этой модели. Кроме того, указана нижняя граница количества существующих периодических мер Гиббса.…”

unclassified

“…В работе [12] дано полное описание трансляционноинвариантных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с q-состояниями и показано, что их количество равно 2 q − 1, а в работе [13] изучена задача крайности этих мер. В работе [14] улучшены результаты из [11] и даны явные формулы для трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли порядка k = 3.…”

unclassified

Трансляционная Инвариантность Периодических Мер Гиббса Для Модели Поттса На Дереве Кэли

Хакимов¹,

Makhammadaliev²

2019

TMF

View full text Add to dashboard Cite

Работа является продолжением работы [9]. Изучается модель Поттса с нулевым внешним полем на дереве Кэли. Для антиферромагнитной модели Поттса с q-состояниями на дереве Кэли порядка два и для ферромагнитной модели Поттса с q-состояниями на дереве Кэли порядка k показано, что при любых значениях параметра все периодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными. Ключевые слова: дерево Кэли, конфигурация, модель Поттса, мера Гиббса, периодические меры, трансляционно-инвариантные меры. 1 Введение Решения проблем, возникающих в результате исследований при изучении термодинамических свойств физических и биологических систем, в основном приводятся к задачам теории мер Гиббса. Известно, что каждой предельной мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы. Модель Поттса является обобщением модели Изинга, которая хорошо изучена на решетке Z d и на дереве Кэли. Понятие меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли вводится обычным образом (см. [1]-[4]). В работе [5] изучена ферромагнитная модель Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли второго порядка и показано существование критической температуры T c такой, что при T < T c существуют три трансляционно-инвариантных и несчетное число не трансляционноинвариантных мер Гиббса. В работе [6] обобщены результаты работы [5] для модели Поттса с конечным числом состояний на дереве Кэли произвольного (конечного) порядка. Показано, что на дереве Кэли произвольного порядка трансляционно-инвариантная мера Гиббса антиферромагнитной модели Поттса с q-состояниями и с внешним полем единственна (см.[4], стр.109, Теорема 5.2). Работа [7] посвящена модели Поттса со счетным числом состояний и c ненулевым внешним полем и доказано, что эта модель имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса. В работе [9] изучены периодические меры Гиббса и при некоторых условиях доказано, что все периодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными. В частности, для ферромагнитной модели Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли прозвольного

show abstract

Translation-invariant and periodic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

Cited by 16 publications

References 7 publications

Translation-invariant and periodic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

Translation-invariant and periodic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

Free energies of the Potts model on a Cayley tree

Трансляционная Инвариантность Периодических Мер Гиббса Для Модели Поттса На Дереве Кэли

Contact Info

Product

Resources

About