Um estudo sobre equações diferenciais fuchsianas e as relações com as superfícies associadas às tesselações de Farey

Oliveira, Anderson José de; Palazzo, Reginaldo

doi:10.5540/03.2015.003.01.0158

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“…Os pontos 0, 1 e ∞ são pontos singulares regulares, [8], os quais fazem parte da sequência de Farey F 1 = {−∞, −1, 0, 1, ∞}. Além disso, essas singularidades podem ser associadas aos vértices de um triângulo fundamental, no qual transformações de emparelhamentos podem ser aplicadas, sendo uma transformação elíptica e uma parabólica.…”

Section: Resultados E Discussõesunclassified

“…Os pontos singulares regulares são −1, 0, 1, ∞, [8], os quais fazem parte da sequência de Farey F 1 = {−∞, −1, 0, 1, ∞} e podem ser representadas por meio de um polígono de quatro lados, como mostra a Figura 2. As transformações de Möbius (elípticas, parabólicas e hiperbólicas), ou de emparelhamentos das arestas do polígono são os geradores do grupo fuchsiano associado e identificam a superfície de Riemann.…”

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Uniformização de Curvas Algébricas Planares via EDOs Fuchsianas no Estudo de Sistemas de Comunicação

Oliveira¹,

Júnior²

2018

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Neste trabalho propomos que as sequências de Farey sejam consideradas como provedoras das raízes de curvas algébricas planares e consequentemente como sendo provedoras das singularidades associadasàs equações diferenciais fuchsianas. Como ponto de partida, consideramos as equações hipergeométrica e de Heun, com três e quatro pontos singulares regulares, respectivamente. Por meio deste procedimento, a região fundamental associada ao grupo fuchsianoé identificada e portanto,é essa a região onde ocorrerá a uniformização da curva algébrica planar. Apresentamos um caso de incompatibilidade dos gêneros de uma curva algébrica de grau 5 (gênero 2), com o correspondente caso de uma equação diferencial fuchsiana com seis pontos singulares regulares cuja região fundamental apresenta gênero 1. Esta incompatibilidade ocorre a partir desse caso considerado eé devida ao fato da existência de uma transformação elíptica ou parabólica, como um dos geradores do grupo fuchsiano, no processo de identificação da região fundamental que deverá uniformizar a curva algébrica planar. Os resultados apresentados permitem, além da caracterização teórica de elementos relacionadosàs equações diferenciais fuchsianas e geometria hiperbólica, a sua utilização no processo da caracterização algébrica e geométrica do problema de quantização de canais DMC.Palavras-chave. equações diferenciais fuchsianas, transformações de Möbius, superfícies, grupos fuchsianos, uniformização. IntroduçãoAs equações diferenciais fuchsianas apresentam como principal característica o fato de que todo ponto singular no plano complexo estendidoé regular. Essas equações diferenciais são muito utilizadas em problemas de Física-Matemática e os casos mais estudados são aqueles envolvendo equações com três pontos singulares regulares, como são os casos das equações hipergeométrica, de Legendre, e de Tchebychev enquanto que a equação de Heun contém quatro pontos singulares regulares.Neste trabalho, nossa propostaé de utilizar elementos de uma sequência de Farey como uma forma sistemática de obtenção das singularidades associadasàs equações hiperelípticas 1 anderson.oliveira@unifal

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