No abstract

Agradecimentos 1 Ao Prof. Dr. Reginaldo Palazzo Jr., pela sua dedicação, paciência e compreensão somadas a incomensurável capacidade de orientar. Em especial, à sua confiança depositada em mim e às inúmeras e agradáveis conversas que tivemos. Para sempre ficará na minha memória com muito carinho.Aos professores membros da banca examinadora pela disponibilidade e atenção dispensada ao trabalho, bem como por suas valiosas sugestões.Ao Prof. Dr. Geraldo Pompeu Jr., pelo compromisso e dedicação com o ensino nas Universidades e, pela capacidade de despertar nos alunos o interesse pelo ensino da matemática. Serei eternamente grata pelo meu encaminhamento ao mundo acadêmico.

Resumo. Neste trabalho propomos que as sequências de Farey sejam consideradas como provedoras das raízes de curvas algébricas planares e consequentemente como sendo provedoras das singularidades associadasàs equações diferenciais fuchsianas. Como ponto de partida, consideramos as equações hipergeométrica e de Heun, com três e quatro pontos singulares regulares, respectivamente. Por meio deste procedimento, a região fundamental associada ao grupo fuchsianoé identificada e portanto,é essa a região onde ocorrerá a uniformização da curva algébrica planar. Apresentamos um caso de incompatibilidade dos gêneros de uma curva algébrica de grau 5 (gênero 2), com o correspondente caso de uma equação diferencial fuchsiana com seis pontos singulares regulares cuja região fundamental apresenta gênero 1. Esta incompatibilidade ocorre a partir desse caso considerado eé devida ao fato da existência de uma transformação elíptica ou parabólica, como um dos geradores do grupo fuchsiano, no processo de identificação da região fundamental que deverá uniformizar a curva algébrica planar. Os resultados apresentados permitem, além da caracterização teórica de elementos relacionadosàs equações diferenciais fuchsianas e geometria hiperbólica, a sua utilização no processo da caracterização algébrica e geométrica do problema de quantização de canais DMC.Palavras-chave. equações diferenciais fuchsianas, transformações de Möbius, superfícies, grupos fuchsianos, uniformização. IntroduçãoAs equações diferenciais fuchsianas apresentam como principal característica o fato de que todo ponto singular no plano complexo estendidoé regular. Essas equações diferenciais são muito utilizadas em problemas de Física-Matemática e os casos mais estudados são aqueles envolvendo equações com três pontos singulares regulares, como são os casos das equações hipergeométrica, de Legendre, e de Tchebychev enquanto que a equação de Heun contém quatro pontos singulares regulares.Neste trabalho, nossa propostaé de utilizar elementos de uma sequência de Farey como uma forma sistemática de obtenção das singularidades associadasàs equações hiperelípticas 1 anderson.oliveira@unifal

Resumo. O presente trabalho aborda a maneira pela qual a alocação das singularidades de uma curva algébrica, inicialmente em ∆ (ou seja, os pólos de uma equação diferencial fuchsiana) e por isometria transferidas para H 2 , influencia na determinação do grupo fuchsiano associado e, consequentemente, no recobrimento da superfície. E mais, se uma relação de similaridade entre curvas algébricas corresponde a um isomorfismo entre os respectivos grupos fuchsianos.Palavras-chave. Pólos, Grupo Fuchsiano, Gênero 1, Curvas Algébricas, Isometria IntroduçãoNo presente estudo, utilizam-se dois modelos dentre os quatro modelos que caracterizam a geometria hiperbólica, [1,4], a saber, os modelos do semi-plano superior, H 2 = {z ∈ C : Im(z) > 0}, e do disco aberto unitário, ∆ = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1}. Estes modelos são isométricos a partir da isometria dada porEssa isometria permite a correspondência entre cada singularidade da curva algébrica em ∆ e em H 2 .Dadas tais premissas, o presente trabalho aborda a maneira pela qual a alocação das singularidades de uma curva algébrica, inicialmente em ∆ (ou seja, os pólos de uma equação diferencial fuchsiana) e por isometria transferidas para H 2 , influencia na determinação do grupo fuchsiano associado e, consequentemente, no recobrimento da superfície. E mais, se uma relação de similaridade entre curvas algébricas corresponde a um isomorfismo entre os respectivos grupos fuchsianos.Este trabalho está organizado da seguinte maneira. Na Seção 2, serão apresentadas as equações diferenciais fuchsianas associadas a três curvas algébricas de gênero 1 e grau 1

No abstract