Uma introdução às derivações localmente nilpotentes com uma aplicação ao 14º problema de Hilbert

Abstract

O principal objetivo desta dissertação é estudar um contraexemplo para o Décimo Quarto Problema de Hilbert no caso de dimensão n = 5, que foi apresentado por Arno van den Essen ([6]) em 2006 e que é baseado em um contraexemplo de D. Daigle e G. Freudenburg ([4]). Para isso, serão estudados os conceitos fundamentais da teoria de derivações e os princípios básicos das derivações localmente nilpotentes, bem como seus respectivos corolários. Dentre esses princípios encontra-se o Princípio 13, que garante que, se B é uma kálgebra polinomial, digamos B = k[x 1 ,. .. , x n ], (onde k é um corpo de característica zero) e D é uma derivação localmente nilpotente sobre B, então seu núcleo A = ker D satisfaz A = B ∩ Frac(A). Assim encontramos o contraexemplo esperado, ao mostrar que A não é finitamente gerado sobre k. Além disso, no apêndice deste trabalho, é dada uma prova para o caso de dimensão 1 do Décimo Quarto Problema de Hilbert.

Derivations on Polynomial Rings and the Darboux Polynomials

“…Além disso, servir como texto suplementar para estudantes que desejam dar os primeiros passos no estudo sobre derivações. As derivações de um anel estão relacionadas a vários problemas, como a Conjectura do Jacobiano e o Decimo Quarto Problema de Hilbert, em diversasáreas da Matemática, como GeometriaÁlgebrica e Equações Diferenciais (veja [1], [2], [3] e [4]), o que justifica o nosso interesse pelo tema.…”