Вероятности Больших Уклонений Одномерных Цепей Маркова. Часть 1. Стационарные Распределения

Abstract

Рассматриваются однородные во времени и асимптотически од нородные в пространстве цепи Маркова со значениями на веществен ной оси, имеющие инвариантную меру. Такая мера всегда существу ет, если цепь эргодична. В работе продолжено изучение асимптоти ческих свойств 7г([ж, со)) при х-+ со для инвариантной меры 7Г, нача тое в [2], [3], [5]. В этих работах изучались главным образом ситуа ции, приводящие к чисто экспоненциальному убыванию ж([х, оо)). В предлагаемой работе рассмотрены два оставшихся альтернативных варианта: случай «степенного» убывания к([х,оо)) и «смешанный» случай, когда х([ж,со)) асимптотически ведет себя как 1(х)е~^х, где 1(х)-правильно меняющаяся на бесконечности интегрируемая функ ция и /3 > 0. Ключевые слова и фразы: цепь Маркова, инвариантная мера, грубая и точная асимптотики вероятностей больших уклонений.

Asymptotic Exponentiality of the Distribution of First Exit Times for a Class of Markov Processes with Applications to Quickest Change Detection

“…Clearly, N% of Example 2 is larger than N A of Example 1 (with A = e a ), so that EiV^ < ^-^^(l + o(l)). Theorem 5 of [6] as well as Theorem 4 of [3] imply that Р{Х(оо)>у} = Су-ш (1 + о{1)) as y-^oo, where X(oo) is a random variable that has the stationary distribution of {X(n)} and С is a positive finite constant. Note that X(oo) is stochas tically larger than a random variable that has the quasi-stationary distri bution.…”

Асимптотически Оптимальные Решения В Задаче О Разладке

“…Докажем (13). Событие 0q ф в* наступает в том случае, когда мак-симум последовательности q(k) fj t=1 Г Г достигается в точке отличной от точки максимума R T-В силу неравенств (7), (12) мы можем ограничиться рассмотрением значений Аг, |J -/с| < JV, при достаточно большом, но фиксированном TV.…”

“…[12], [13]) и к ней применима теорема 3 из [13], в силу которой вы полнено (38). Чтобы применить теорему 4 из [13] о точной асимптотике P(W > х) (из которой будет следовать (40) при 0 < с < сю), наряду с условиями (39) требуется также выполнение условий…”

О Распределении Супремума Случайного Блуждания При Наличии Корней Характеристического Уравнения

“…+ X n +i,Q), однако хорошо известно [1, § VI.9 и § XVIII.5], что зг совпадает с распределением супремума Моо. В работах [7]- [13] основной акцент при изучении распределения супремума ставился на исследовании асимптотического по ведения вероятности Р{Моо > х}.…”

“…Распределение супремума Моо в виде сверточного сомножителя входит в выражения для стационарных распределений осциллирующего и почти однородного случайных блужданий [13]. Это обстоятельство позволяет при менить методику данной работы к изучению стационарных распределений указанных марковских случайных блужданий.…”