Замкнутые Геодезические На Поверхности Симплекса

Протасов, Владимир Юрьевич

doi:10.4213/sm1501

“…Для доказательства теоремы 1 дадим, следуя [8], определение обобщенной ломаной. Ломаной на тетраэдре будем называть кривую, состоящую из прямолинейных отрезков, которые последовательно соединяют точки на ребрах данного тетраэдра.…”

Section: рис 10unclassified

Простые Замкнутые Геодезические На Правильных Тетраэдрах В Пространстве Лобачевского

Borisenko¹,

Borisenko

²

,

Сухоребская³

et al. 2020

Математический сборник

5

0

View full text Add to dashboard Cite

Аннотация. В роботе найдены необходимые условия, которым должна удовлетворять простая замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре в пространстве Лобачевского. Так же найдены и описаны явно три класса простых замкнутых геодезических: 2-однородные, 3-однородные и (3,2)-однородные геодезические. В каждом классе существует ровно одна, с точностью до изометрии тетраэдра, геодезическая данного типа. Ключевые слова: простые замкнутые геодезические, правильный тетраэдр, пространство Лобачевского. MSC: 53С22, 52B10 Введение В 1905 году в связи с задачей трех тел А. Пуанкаре выдвинул гипотезу о существовании замкнутой геодезической без точек самопересечения на гладкой замкнутой выпуклой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. В 1917 году Дж. Биркгоф доказал, что на римановом многообразии произвольной размерности гомеоморфном сфере существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая [1]. В 1929 году Л. Люстерник и Л. Шнирельман показали, что на двумерном римановом многообразии, гомеоморфном сфере, существуют по крайней мере три замкнутые несамопересекающиеся геодезические [2]. Однако, доказательство Люстерника и Шнирельмана было неполное. Позднее Д. В. Аносову и И. А. Тайманову удалось получить полное доказательство этой теоремы [3], [4]. Но их доказательство существенно использовало теорему Жордана для двумерной сферы, и поэтому не могло быть обобщено на многообразия большей размерности. В. Клингенберг обобщил эту теорему на компактное односвязное многообразие произвольной размерности, использовав несколько другой подход [5]. Интерес представляет рассмотреть геодезические на негладких поверхностях, в том числе на выпуклых многогранниках. В [7] рассматривался вопрос существования замкнутой геодезической без самопересечения на произвольном замкнутом arXiv:1801.07020v5 [math.MG] 14 Apr 2018 многограннике в евклидовом пространстве. В частности, на тетраэдре не существует замкнутой не самопересекающейся геодезической, если суммарная кривизна любых двух его вершин не равна 2π. Известно так же, что, если на многограннике в евклидовом пространстве существует хотя бы одна замкнутая геодезическая, то существует бесконечно много геодезических, пересекающих те же ребра в том же порядке. В. Ю. Протасов в своей работе [8] получил условие существования замкнутой геодезической без самопересечения на произвольном симплексе и оценку на их количество. Д. Фукс и К. Фукс дополнили и систематизировали результаты по замкнутым геодезическим на правильных многогранниках в трехмерном евклидовом пространстве [9], [10].Мы рассмотрели задачу нахождения замкнутых геодезических на правильном тетраэдре в пространстве Лобачевского. В евклидовом пространстве грани многогранника имеют нулевую гауссову кривизну и вся кривизна многогранника сосредоточена только в вершинах. В пространстве Лобачевского грани многогранника имеют отрицательную гауссову кривизну. Т.е. кривизна многогранника в пространстве Лобачевского определяется не только вершинами, но и гранями. Кроме того, если все правильные тетраэдры в евклидовом пространстве подобны, то в ...

show abstract

“…В [13] были найдены множества возможных чисел областей для конфигура-ций замкнутых геодезических на двумерном торе и бутылке Клейна с локально плоскими метриками (гауссова кривизна тождественно равна нулю). В 2007 г. В. Ю. Протасов классифицировал в [14] замкнутые геодезические на поверх-ности тетраэдра. При этом оказалось, что равногранные тетраэдры (грани которых -равные остроугольные треугольники) и только они содержат бес-конечное количество неизоморфных замкнутых геодезических.…”

Section: и н шнурниковunclassified

“…Среди всех тетраэдров равногранные и только они содержат бесконечное число неизоморфных (позвенно непарал-лельных) замкнутых геодезических (подробнее см. [14], [18]). …”

Section: и н шнурниковunclassified

“…[14]) замкнутых геодезических на равногранном тетраэдре и несколь-ко лемм. Возьмем произвольный равногранный тетраэдр ABCD и развернем его грани на плоскость ABC, получится треугольник с вершинами D 1 D 2 D 3 .…”

Section: и н шнурниковunclassified

“…Параллель-ность накрывающих прямых равносильна (см. [14]) изоморфизму замкнутых геодезических. Итак, каждому классу изоморфных замкнутых геодезических ставится в соответствие пара целых взаимно простых чисел (k, l), определен-ная однозначно с точностью до знака (при фиксированной системе координат плоскости и обозначенных вершинах тетраэдра).…”

Section: и н шнурниковunclassified

See 2 more Smart Citations

Конфигурации Подмногообразий Коразмерности $1$

Shnurnikov¹

2012

Матем. сб.

3

0

View full text Add to dashboard Cite

Geodesic loops on tetrahedra in spaces of constant sectional curvature

Borisenko,

Miquel

2024

Acta Math. Hungar.

0

View full text Add to dashboard Cite

Geodesic loops on tetrahedra were studied only for the Euclidean space and it was known that there are no simple geodesic loops on regular tetrahedra. Here we prove that: 1) In the spherical space, there are no simple geodesic loops on tetrahedra with internal angles $$\pi/3 < a_i<\pi/2$$ π / 3 < a i < π / 2 or regular tetrahedra with $$a_i=\pi/2$$ a i = π / 2 , and there are three simple geodesic loops for each vertex of a tetrahedra with $$a_i > \pi/2$$ a i > π / 2 and the lengths of the edges $$a_i>\pi/2$$ a i > π / 2 . 2) We obtain also a new theorem on simple closed geodesics: If the angles $$a_i$$ a i of the faces of a tetraedron satisfy $$\pi/3 < a_i<\pi/2$$ π / 3 < a i < π / 2 and all faces of the tetrahedron are congruent, then there exist at least $$3$$ 3 simple closed geodesics. 3) In the hyperbolic space, for every regular tetrahedron $$T$$ T and every pair of coprime numbers $$(p,q)$$ ( p , q ) , there is one simple geodesic loop of type $$(p,q)$$ ( p , q ) through every vertex of $$T$$ T . The geodesic loops that we have found on the tetrahedra in the hyperbolic space are also quasi-geodesics.

show abstract

Замкнутые Геодезические На Поверхности Симплекса

Cited by 15 publications

References 8 publications

Простые Замкнутые Геодезические На Правильных Тетраэдрах В Пространстве Лобачевского

Простые Замкнутые Геодезические На Правильных Тетраэдрах В Пространстве Лобачевского

Конфигурации Подмногообразий Коразмерности $1$

Geodesic loops on tetrahedra in spaces of constant sectional curvature

Contact Info

Product

Resources

About