No abstract

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (грант № 05-01-00066) и Программы поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ-304.2003.1). Работа второго автора выполнена при финансовой под-держке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 02-01-00386).

Замкнутые геодезические на поверхности симплекса В работе исследуются замкнутые несамопересекающиеся геодезические на поверхности трехмерного симплекса. Доказано, что любая геодезиче-ская на произвольном симплексе реализуется на правильном симплексе. Это позволяет получить полную классификацию всех геодезических и опи-сать их структуру. Получены условия существования геодезических для произвольного симплекса. Доказано, что симплекс имеет бесконечно мно-го существенно различных геодезических тогда и только тогда, когда он равногранный. Для прочих симплексов получены оценки на число геоде-зических.Библиография Ситуация с геодезическими на выпуклых многогранниках коренным обра-зом отличается от того, что мы имеем на гладких поверхностях. Например, как показано в [7], [8], многогранник "общего положения" не имеет ни одной невы-рожденной замкнутой несамопересекающейся геодезической. С другой сторо-ны, если есть хотя бы одна геодезическая, то существует бесконечно много изоморфных ей геодезических, т.е. пересекающих те же ребра в той же по-следовательности. Легко показать, что геодезические на многограннике будут Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00066).

No abstract

Обобщенная компактность в линейных пространствах и ее приложенияДля данного выпуклого множества в линейном метрическом простран-стве естественно возникают вопросы об условиях непрерывности выпуклой оболочки любой непрерывной вогнутой функции (CE-свойство) и непре-рывности выпуклой оболочки любой непрерывной функции на этом мно-жестве (сильное CE-свойство). В случае выпуклых компактов полное ре-шение этих вопросов было найдено в 1970-е годы усилиями Дж. Вестер-стрёма и Р. О'Брайена. Сначала Вестерстрёмом было показано, что для компактов сильное CE-свойство и CE-свойство равносильны соответствен-но открытости барицентрического отображения и открытости сужения этого отображения на множество максимальных мер. Затем О'Брайен показал эквивалентность последних двух свойств открытости геометри-чески наглядному "свойству устойчивости" данного компакта, установив тем самым равносильность CE-свойства и сильного CE-свойства. В рабо-те решается следующая задача: обобщаются ли эти результаты на неком-пактные выпуклые множества, и если да, то на какие? Доказано, что такое обобщение возможно на класс так называемых µ-компактных мно-жеств. Приведены аргументы, показывающие, что этот класс является, по-видимому, максимальным классом, для которого такое обобщение воз-можно. Детально исследуются свойства µ-компактов, рассматривается ряд примеров и обсуждаются приложения полученных результатов в кван-товой теории информации.Библиография: 32 названия.Ключевые слова: барицентрическое отображение, µ-компактное мно-жество, выпуклая оболочка функции, устойчивость выпуклого множества.