Приближения Наипростейшими Дробями И Преобразование Гильберта

Extremal and Approximative Properties of Simple Partial Fractions

“…Отсюда следует, что разность НД ρ n = Q ′ /Q и ρ n = P ′ /P в точках ξ k имеет 2n − 2 перемен знаков. Легко видеть, что любая непрерывная вещественнозначная функция f , график которой проходит через точки (ξ k , ρ n (ξ k )) и которая удовлетворяет условию [125]. Им, в частности, показано, что любая функция f ∈ S p является аналитической на R, продолжается до мероморфной на комплексной плоскости C функции и представляется в виде ряда…”

“…(29)). Доказательство основных результатов в [125] базируется на преобразовании Гильберта, которое (см., например, [55]) определяется (почти всюду) как…”

“…Аппроксимация на неограниченных множествах. В работах В. Ю. Протасова [125], П. А. Бородина и О. Н. Косухина [49,112], И. Р. Каюмова [96,97], В. И. Данченко [74] изучалось приближение посредством НД в разных метриках на неограниченных множествах: прямых, лучах и др. Например, установлено [49], что каждая непрерывная на действительной оси R функция f с нулевым значением на бесконечности (кратко, f ∈ C 0 (R)) в равномерной метрике с любой точностью приближается НД.…”

“…Однако в случае всей оси класс функций, аппроксимируемых посредством НД в L p (R), p > 1, резко сужается [125], в частности, он состоит из тех и только тех функций, которые представляются в виде сходящихся к ним в L p (R) рядов НД.…”

“…Точнее, были найдены различные условия и критерии сходимости в L p (R) бесконечных НД ρ ∞ = lim n→∞ ρ n в терминах последовательностей их полюсов z k (см. [74,96,97,99,125]). Например, при 1 < p < 2 и z k ∈ C + такая сходимость эквивалентна следующему условию из [74] для частичных сумм ρ n вида (1) (см.…”