Многофазные Осредненные Модели Диффузии Для Задач С Несколькими Параметрами

Abstract

Многофазные осредненные модели диффузии для задач с несколькими параметрамиРассматривается осреднение начально-краевых задач для параболиче-ских уравнений с периодическими быстроосциллирующими и асимптоти-чески вырождающимися коэффициентами, моделирующих процессы диф-фузии в сильно неоднородной сплошной среде. Решения таких задач зависят от конечного параметра и двух малых положительных парамет-ров. Приведены осредненные начально-краевые задачи, решения которых приближают решения рассматриваемых задач, и доказаны оценки точ-ности таких приближений. Приведенные осредненные задачи являются начально-краевыми для интегро-дифференциальных уравнений, решения которых зависят от положительных параметров интенсивности диффузи-онного обмена и обмена импульсами диффузии. В общем случае такие осредненные уравнения образуют систему связанных через коэффициен-ты обмена уравнений и определяют многофазные математические модели диффузии для осредненной (предельной) сплошной среды. Рассмотрены спектральные свойства некоторых осредненных задач. При дополнитель-ных предположениях о предельном поведении параметров обмена доказа-ны утверждения об асимптотическом упрощении осредненных задач.Билиография: 54 наименования. § 1. Введение В настоящей работе рассматриваются вопросы осреднения нестационарных процессов диффузии (теплопроводности) в среде, составленной периодическим образом из нескольких материалов с сильно различающимися свойствами. Предполагается, что некоторые из этих материалов являются слабопроводя-щими и имеют плотность, кратную конечному (в частности, малому) положи-тельному параметру. Таким образом, коэффициенты проводимости некоторых материалов существенно меньше коэффициентов проводимости других матери-алов, а коэффициенты плотности таких слабопроводящих материалов харак-теризуются конечным положительным параметром и могут быть, в частности, существенно меньшими коэффициентов плотности других материалов.Исследуются процессы диффузии, описываемые уравнениями параболиче-ского типа с коэффициентами, зависящими от конечного положительного па-раметра µ и двух малых положительных параметров ε и σ, которые удовле-творяют неравенствам 0 < µ µ 0 , 0 < ε ε 0 и 0 < σ σ 0 для фиксирован-ных положительных µ 0 , ε 0 и σ 0 . Параметр микромасштабности ε определяет период коэффициентов этих уравнений, что соответствует предположению о периодической структуре рассматриваемой среды с периодом ε. Величина, об-ратная к параметру σ, характеризует разброс коэффициентов проводимости c ⃝ Г. В. Сандраков, 2007 120 Г. В. САНДРАКОВ этих уравнений, что соответствует предположению об очень слабой проводи-мости некоторых из материалов в сравнении с проводимостью других матери-алов. Соответственно, величина, обратная к параметру µ, характеризует раз-брос коэффициентов плотности этих уравнений, что может соответствовать, в частности, предположению об очень малой плотности (при малых µ) слабо-проводящих материалов в сравнении с плотностью других материалов. Эти уравнения можно также разделить на σ и исследовать процессы диффузии в среде с сильно ...