Симметрии Нелинейных Гиперболических Систем Типа Цепочек Тоды

Abstract

Рассмотрены гиперболические системы уравнений, обладающие полными наборами интегралов по обоим характеристикам. Наиболее известным примером моделей такого типа являются двумеризованые открытые цепочки Тоды. Для систем, обладающих интегралами, построен дифференциальный оператор, переводящий интегралы в симметрии. Тем самым для систем указанного типа доказано существование высших симметрий, зависящих от произвольных функций. Ключевые слова: уравнение Лиувилля, цепочка Тоды, интегралы, высшие симметрии, гиперболические системы уравнений в частных производных, теорема Нётер.

Интегралы Открытых Двумерных Цепочек

“…Ниже мы приводим два таких примера: цепочка Шабата-Ямилова и иная форма двумерной цепочки Тоды. Нам не известно, упоминалась ли где либо связь между этими цепочками и уравнением (4). Цепочка w j,tx = w j,t w j,x 1 w j − w j−1 − 1 w j+1 − w j…”

“…где w 1 = 1/v, w 2 = w. Система (16) использовалась в работах [4], [7] как рабочий пример для демонстрации свойств систем типа Лиувилля.…”

“…К ним, в частно-сти, относятся конечность цепочек обобщенных инвариантов Лапласа [2], [3], а также наличие нетривиальных интегралов и обобщенных симметрий. Известно также, что последние две структуры связаны друг с другом посредством дифференциального оператора, отображающего интегралы в симметрии [4]. Давно известно, что систе-мы (1) имеют полные наборы интегралов [5], однако явные формулы для них не были построены, за исключением нескольких особых случаев.…”

“…Поэтому уравнение (4) и открытая A n -цепочка Тоды, возможно, суть простейшие обобщения уравнения Даламбера для уравнений высшего порядка или систем уравнений. Можно спросить, существуют ли другие системы достаточно компактного вида, имеющие отношение к уравнению (4). Очевидно, любая дру-гая система, сводящаяся к уравнению (4), должна также иметь отношение к си-стеме (8).…”

Алгебры Симметрий Лагранжевых Систем Лиувиллева Типа

“…. , φ r x, [w] и принадлежащие образу линейных матричных диф-ференциальных операторов в полных производных [6], [8]- [10]. Существование таких операторов для систем лиувиллева типа было замечено в работах [1], [6] и [3], [10], в которыx была обнаружена значимость линеаризаций ℓ (u) w первых инте-гралов w для построения операторов .…”