No abstract

No abstract

Sunto. -~ contenuto nell'introduzione. INTRODUZIONEDi recente M. KATETOV (i) [6] ed H. To~e~ [8], estendendo agli spazii normalt un risultato di H. HAHN,[4], hanno dimostrato ehe:(I). Se f e g sono funzioni reali semicontinue, la prima superiormente e la seconda inferiormente, hello spazio normale E e risulta f <~ g in E, esiste uaa funzione reale h continua in E tale the sia f< h < g in E.Ancora in [6], KATETOV ha stabilito che: (II). Se f ~ una funzione reate limitata ed uniformemente continua nell' insieme A dello spazio uniforme E, esiste una funzione reale f uniformemente continua in E, avente in E gli stessi estremi ehef ha in A e tale che per ogni x e A sia f(~) = t~x).Poich6 la (I) implica un ben note teorema di prolungamento di URYS~O~, si 6 condotti a chiedersi se il teorema di prolungamento (II)di KAT~TOV non possa farsi conseguire da una propriet/~ the, negli spazii uniformi sostituisoa quella che per gli spazii normali 6 espressa dalla (I).A cib si risponde nella presente Nota introducendo (n. 1, def. 1) le (< coppie di funzioai reali aniformemente separate in uno spazio uniforme, e stabilendo per esse delle propriet/~ che non sembra siano state gik rJlevate. Tra le couseguenze di queste figurano, non solo la prop. (II), come richiesto, ma anche, con opportuni aceorgimenti, la prop. (I), beninteso, con riferimento a spazii uormali non neeessariamente uniformizzabili. Quest'uitima circostanza si verifica, appunto, perch6 le funzioni f e g di cut in (I) sono uniformemente separate rispetto ad uua eonveniente struttura uniforme che pub definirsi su ogni spazio normale, senza alcun intervento diretto o indiretto del lemma e del teorema di URYSHON, ma con un metodo puramente <, set theoretic>>, secondo la terminologia degli autori di lingua inglese: detti lemma e teorema (l) I numeri indieati in [] si riferiscono alla Bibliografia riportata in fine della presente l~ota. AM~i d~ Ma~mat~ 5t402 G. AQv2d¢o : l~unzioni rca[i u~iformemente .veparate negli spazii, ece.di URYSHO~, al contrario, a causa della (I), ne sono conseguenze. Cib fa intravvedere la possibilit~ di subordinare parti notevoli della teoria degli spazii normali a quella degli spazii uniformi la cui importanza i~ sempre crescente in Topologia Generale. Una estensione agli spazi uniformi compatti di un risaltato W. SI~RPINSKI [7], che generalizza i| teorema di uniforme continuith di CA~TOl~, fornisce an ulteriore esempio di topple uniformemente separate.Per ragioni di brevith, salvo nei casi volta per volta specificati, per la terminologia ed il simbolismo qui usati si rimanda a [1], [2] e [3].Va ben rilevato, perb, che nella presente Nora, spazii normali e spazii compatti non si suppongono separati, cio~ di HAUSDORFF, eontrariamente a quanto b fatto in [2] ed in [3]. In altri termini supponiamo compatto o normale ogni spazio topologico ehe oltre ai consueti assiomi di spazio topologico ~0~) ed (0,~} di [2], verifichi rispettivamente l'assioma di BOREL-LEB]~S~UE, o, (C) di [2], oppure l'assioma (0'v) di [3].Si tonga presente, inoltre, che il ter...

l~ota di GIOVANNI JkQUAR0 (a Bari) Sin, to. -~ cont~nuto nell'introduzione.I~TRODUZIONE. -I n u n a 3/[emoria di reeente apparsa in questi ANNALI (eft. [1] (*) § 3, def. 4,), lo scrivente ha introdotto il concetto di a -s t r u t t u r a uniforme, denotata con :~a(E), sopra uno spazio topologico E, per ogni n u m e r o cardinale infinite a.Nella presente Nora, supposto che E sia uniformizzabile, si analizzano alcune propriet/~ di E quando Sa(E) sia ulla s t r u t t u r a u n i f o r m e di spazio complete ed, in tal case, E viene d e n o m i n a t e << spazio S a -c o m p l e t o 7>, mentre, nel case in cui Sa(E) non sia una s t r u t t u r a uniforme di spazio complete, si stabiliscano alcune proprieth del completamento va(E) di E per Sa(E).Si riconosce che, nel primo case, sussistono propriet/~ gi/~ note per i cosiddetti << Q-spazii >> secondo E. H]~WITT (cfr. [8] e nel secondo case, propriet/t gia note per 1' estensione di uno spazio completamente regolare (di HAUSDORFF) come sottospazio ovunque dense in a n Q-spazio, nora come << estensione~ di HEWITT.In particolare, se si suppone a == card(N), con N l ' i n s i e m e dei h u m e r i interi non negativi, gli spazii S a -c o m p l e t i sono tutti e soli i Q-spazii e i c o m p l e t a m e n t i Va(E) sono le estensioni di HEWITT.Non ~ note allo scrivente se la generalizzazione dei Q-spazii qui eonseguita esclusivamente attraverso propriet/~ <> degli spazii in oggetto, possa porsi in relazione con u n a generalizzazione dei Q-spazii, detta E-compattezza, di recente introdotta da R. ENGELKIN@ e S. M~6WKA in [5] attraverso proprietfi • esterne >> di t a l i spazii. P e r quanto concerne terminologia e notazioni qui adoperati, si pub far ri[erimento alla 1Kemoria [1] sopra citata oppure a [3], [4]; [11]; [12]. (*) I humeri in [] si riferiseono alla Bibliografia alla fine delia pressnte :Nora.

IN~t~ODUZIONE. --Nel presente lavoro si prosegue lo studio degli spazii uniformizzabili Sa-completi, iniziato in una Nota, apparsa in questi Annali [4], alla quale si rinvia per la terminologia ed il simbolismo qui usati.A1 concerto di spazio ~a-completo fa riscontro il concerto di ~a-completamento ( § I, def. 1) e nel seguente § 1 viene approfondita l'analisi delle proprieta di entrambi ottenendosi~ in una situazione pitt generale, propriet'~ analoghe alle piu importanti dei Q-spazii secondo HEwing. Successivamente, nel § 2, utilizzando alcuni risultati ottenuti dallo scrivente in [2], viene effettuata una esposizione sistematica ed autonoma dei filtri ~-inviluppati, c~ essendo una struttura uniforme~ riunendo, in un assetto unico, risultati di [I1], [1], [10]. Nel § 31 tramite i mezzi forniti dal § 2, si stabiliscono alcune propriefft dei Q-spazii nel quadro delle tecniche sviluppate in [3], [4] e nel presente lavoro. Successivamente, si utilizzano le conclusioni, alle quali cosi si perviene, per caratterizzare gli spazii uniformizzabili separati il cui .¢~-completamento, con ¢o = card {N), ~ uno spazio di LINDEL(iF. Tali spazii sono caratterizzati dalla seguente proprietor. (**) -ogni filtro completamenle regolare verificanle la propriet~ della intersezione numerabile ~ meno fine di un filtro massimale della stessa specie. La (**} va posta in relazione con una consimile proprieta introdotta da R. W. BA(~L~¥ e J. D. ~IcK~m~ Jn. in [6j. La {**)1 tuttavia, sembra prestarsi meglio agli scopi prefissici consentendo di ottenere non solo la caratterizzazione di cui sopra ma anche qualche miglioramento dei risultati dei suddetti autori. (*) Lavoro eseguito nel Gruppo di Ricerca m 9 del Comitato ~azionale per la Mate. matiea del Consiglio Nazionale delle Ricereh% per l'anno 1961-62.