ResumenEl escrito tiene como objeto presentar una reflexión y análisis acerca de los procesos en el desarrollo del pensamiento matemático elemental y avanzado como actividad humana. Tradicionalmente la enseñanza de la matemática tiene dos barreras por superar: Primera, que el pensamiento matemático avanzado se presenta sólo a determinada edad y por tanto debe abordarse en cursos a nivel universitario. Segunda los profesores de esta disciplina regularmente presentan la matemática a los estudiantes como un cuerpo de conocimientos acabado e irrefutable compartido por una comunidad científica. La tarea del estudiante es aprenderlo, hacer demostraciones y reproducir este conocimiento en un determinado periodo de tiempo. Entes u objetos matemáticos que en ocasiones ha tomado siglos construirlos. En contraste con el verdadero sentido de la enseñanza de esta disciplina que debe ser el de potenciar en los estudiantes el desarrollo del pensamiento matemático.Palabras clave: mentes matemáticas, representación, generalización, síntesis, abstracción. Elementary and Advanced Mathematic thinking as human activity in permanent evolution.AbstractThe objective of this text is to present a reflection and analysis about the processes in the development of fundamental and advanced mathematical thinking as a human activity. Traditionally, mathematics education has had two barriers to overcome: First, advanced mathematical thinking is only shown at a determined age and therefore it must be addressed in university level courses. Second, the teachers of this discipline regularly introduce mathematics to students as a body of complete and irrefutable knowledge shared by a scientific community. The task of the student is to learn it, do demonstrations and reproduce this knowledge in a given period of time. Mathematical entities or objects that in occasions have taken centuries to build. In contrast with the true sense of education of this discipline that must be to empower in the students the development of mathematical thinking.Key words: Mathematical minds, representation, generalization, synthesis, abstraction  Pensamento Matemático primário e avançado como atividade humana na evolução permanenteResumoO trabalho teve como objetivo apresentar uma reflexão e análise sobre os processos no desenvolvimento do pensamento matemático elementar e avançado como atividade humana. Tradicionalmente, o ensino da matemática tem tido duas barreiras a superar: a primeira, que o pensamento matemático avançado ocorre apenas em uma certa idade e, portanto, deve ser abordado em cursos a nível universitário. A segunda, queos professores desta disciplina regularmente apresentam a matemática aos alunos como um corpo de conhecimentos finalizado e irrefutável compartilhado por uma comunidade científica. A tarefa do aluno é aprende-o, fazer demonstrações e reproduzir esse conhecimento num determinado período de tempo. Entidades ou objetos matemáticos que, em ocasiões tem levado séculos construí-os. Em contraste com o verdadeiro sentido do ensino desta disciplina que deve ser o de potenciar nos alunos o desenvolvimento do pensamento matemático.Palavras-chave: abstração, generalização, mentes matemáticas, representação, síntese

Describir las prácticas pedagógicas desarrolladas por el profesor de matemáticas entorno al aprendizaje de la competencia numérica, son la base para un adecuado  desempeño en el ejercicio de la docencia y la dirección educativa, de este modo los sistemas educativos de cada país deben centrar la enseñanza de las matemáticas hacia habilidades y procesos que les permita a los estudiantes adquirir la capacidad de conocimiento, entendimiento y crítica entorno a la competencia numérica de manera flexible, para formular proposiciones matemáticas, desarrollo de estrategias útiles hacia la manipulación de los números, realizar operaciones y resolver problemas. Para el desarrollo de la investigación, se diseñó un instrumento tipo escala Likert con 26 ítems aplicado a 80 estudiantes de grado séptimo en la Institución Educativa Julio Pérez Ferrero, sedes Cundinamarca y Nuevo Horizonte en la ciudad de Cúcuta. Los resultados del instrumento, permiten concluir que el profesor solo tiene en cuenta el contenido programático, su criterio y experiencia para desarrollar las clases. Las dimensiones de aprendizaje en torno a la planeación, desarrollo y mejora de las prácticas pedagógicas hacia el aprendizaje de las matemáticas, especialmente la competencia numérica, juega un papel importante el factor evaluativo centrándose en cómo los estudiantes pueden utilizar lo que han aprendido en situaciones de la vida cotidiana.Palabras claves: Competencia numérica, Pensamiento Numérico, Práctica Pedagógica  AbstractDescribing the pedagogic practices developed by the professor of mathematics  across of the numerical competition, the base for an adequate performance in the exercise of teaching and the educational address are, the educational systems out of every country to the learning in this way the teaching of the mathematics toward abilities that you allow to the students and processes must center to acquire the capability of knowledge, understanding and criticism surroundings to the numerical competition of flexible way, to formulate mathematical propositions, development of useful strategies toward the manipulation of numbers, to accomplish operations and to solve problems.  For the development of investigation, type designed an instrument itself climb Likert with 26 applied items 80 students willingly seventh at the Institución Educativa Julio Pérez Ferrero, seats Cundinamarca and Nuevo Horizonte at the city of Cúcuta. The results of the instrument, they allow concluding that the very professor takes into account the programmatic contents, his opinion and experience to unroll classrooms. The learning dimensions about planning, development and improvement of the pedagogic practices toward the learning of mathematics, specially the numerical competition, play an important role the factor evaluativo becoming centered in how the students can utilize what they have learned in situations of the quotidian life.Key words: , numerical Competencia, Numerical Pensamiento, Pedagogic practice

La resolución de problemas y modelación matemáticas son áreas críticas en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Allí se deben poner en juego, conceptos, habilidades y procedimientos provenientes de la experiencia matemática en cursos anteriores. La mayoría de los estudiantes tienen dificultades para llegar a entender el lenguaje de las matemáticas; relacionadas con el conocimiento inadecuado del lenguaje especializado que incluye palabras técnicas, no técnicas, y notación simbólica, específicamente en la formulación de modelos matemáticos. El propósito del estudio estuvo centrado en analizar los resultados sobre el conocimiento semántico que un grupo de estudiantes de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Francisco de Paula Santander evidencia en la representación de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden como modelos matemáticos. Los fundamentos teóricos de que dieron soporte a la investigación fueron: La teoría de dos etapas propuesta por (Mayer, 1986), el ciclo de modelación bajo la perspectiva cognitiva de (Ferri, 2006) y las representaciones externas de (Goldin & Kaput, 1996). El trabajo fue cuantitativo de tipo exploratorio y descriptivo. La investigación se fundamentó en la teoría de dos etapas propuesta por Mayer R para la resolución de problemas matemáticos, el ciclo de modelación según Ferri y la teoría de las representaciones de Goldin y Kaput. Para recolectar la información, se diseñó y aplicó un cuestionario de 17 reactivos con respuestas cerradas y abiertas. Los hallazgos muestran que cada participante hace su propia representación interna y externa a conceptos como: sistema masa-resorte, peso, masa, punto de equilibrio, Ley de Hooke, fuerzo amortiguadora, fuerza externa, Ley de Newton inmersos en la situación mediante un problema de palabra. Es necesario realizar trabajos a profundidad sobre el conocimiento con el propósito de buscar explicaciones y contribuir en la enseñanza y aprendizaje hacia la resolución de problemas matemáticos. Palabras clave: Ciclo de modelación, modelación matemática, problemas matemáticos, representaciones externas.   Abstract   The resolution of problems and mathematics modeling are critic areas in learning and teaching of mathematics. Is there where it must to put on game concepts, skills and procedures originating from the mathematic experience in previous courses. Most of the students have difficulties to understand the mathematic language, related with the inadequate knowledge of specialized language that includes technique words, non-technique words and symbolic notations, specifically in the formulation of mathematic models. The purpose of this research was focused to analyze the results about the semantic knowledge that a group of students of Engineering Faculty of Francisco of Paula Santander University evidence in the representation of lineal differential equations of second order as mathematic models. The theory fundaments that gave support the research was: The theory of two phases by (Mayer, 1986), the modeling cycle under the cognitive perspective of (Ferry, 2006) and the extern representations of (Goldin & Kaput, 1996). The project was quantitative of exploratory and descriptive type. The research was based in the theory of two phases purposed by Mayer R for the resolution of mathematic problems, the modeling cycle according Ferry and the Representations theory of Goldin and Kaput. To recollect the information it was designed and applied a questionary of 17 reactive with opened and closed answers. The discoveries showed that each participant does its own intern an extern representation to concepts as: spring-mass system, weight, mass, balance point, Hooke’s Law, buffering strong, extern strong, Newtown’s Law immersed in a situation through a problem of word. It is necessary to execute deep jobs about the knowledge with the purpose of to look for explanations and aid in teaching and learning through the resolution of mathematic problems. Key words: Modeling cycle, Mathematic Modeling, Mathematic problems, extern representations.   Resumo   Resolução de problemas e modelagem matemática são áreas críticas no ensino e aprendizagem da matemática. Deve ser colocado em jogo, conceitos, habilidades e procedimentos a partir da experiência matemática em cursos anteriores. A maioria dos alunos tem dificuldade em entender a linguagem da matemática; relacionado ao conhecimento inadequado de linguagem especializada que inclui palavras técnicas, não técnicas, e notação simbólica, especificamente na formulação de modelos matemáticos. O objetivo do estudo incidiu sobre a análise dos resultados sobre o conhecimento semântico que um grupo de estudantes da Faculdade de Engenharia da evidência Universidade Francisco de Paula Santander na representação de equações diferenciais lineares de segunda ordem como modelos matemáticos. Os fundamentos teóricos que deram apoio à pesquisa foram: A teoria de dois estágios proposto por (Mayer, 1986), o ciclo de modelagem sob a perspectiva cognitiva (Ferri, 2006) e representações externas (Goldin & Kaput de 1996 ). O trabalho foi quantitativo de tipo exploratório e descritivo. A pesquisa foi baseada na teoria de dois estágios proposta por Mayer R para resolver problemas matemáticos, o ciclo de modelagem de acordo com Ferri e a teoria das representações de Goldin e Kaput. Para coletar as informações, foi elaborado e aplicado um questionário de 17 itens com respostas fechadas e abertas. Os resultados mostram que cada participante faz sua própria representação interna e externa para conceitos tais como o sistema massa-mola, peso, massa, equilíbrio, a Lei de Hooke, força de amortecimento mim, força externa, Act imerso Newton na situação através de um problema da palavra. É necessário realizar um trabalho aprofundado sobre conhecimento com o objetivo de buscar explicações e contribuir para o ensino e a aprendizagem para a solução de problemas matemáticos.   Palavras-chave: Ciclo de modelagem, modelagem matemática, problemas matemáticos, representações externas.

El estudio tuvo como objetivo analizar los niveles de razonamiento manifestado por un grupo de estudiantes de secundaria cuando resuelven problemas que involucraran los conceptos de polígonos y poliedros siguiendo el modelo Van Hiele. Para el desarrollo de la investigación se optó por un enfoque cuantitativo, con un alcance descriptivo. Como técnicas para recolectar la información se diseñó e implementó un banco de preguntas, utilizando el software educativo Viaje por la Geometría. Los resultados permitieron evidenciar un buen nivel de razonamiento alcanzado por los estudiantes al reconocer, analizar, clasificar, calcular el número de diagonales de un polígono y de utilizar el teorema de Euler para establecer la relación ente el número de caras, vértices y aristas del poliedro. En el proceso de razonamiento de deducción formal correspondiente al nivel cuatro no fue alcanzado por la gran mayoría de los estudiantes debido a la dificultad al realizar los cálculos algebraicos para calcular la apotema de un polígono en función de su lado; igualmente presentaron dificultad al calcular la diagonal del paralelepípedo.

El pensamiento variacional ha sido caracterizado desde diferentes contextos y perspectivas, generalmente estos trabajos, han sido realizados desde la solución de problemas que involucran el concepto de función en dominios continuos. La investigación estuvo centrada en dar respuesta a la pregunta de investigación, ¿cómo es la naturaleza del pensamiento variacional manifestado por profesores de matemáticas en formación, cuando solucionan problemas de ecuaciones lineales diofánticas? El trabajo se orientó por un enfoque cualitativo con un diseño estratégico desde la teoría fundamentada. Como fuentes de datos, se diseñaron e implementaron 6 secuencias de aprendizaje a un grupo de 24 estudiantes que tomaron un curso de Teoría de Números y se forman para profesores de matemáticas. Entre los hallazgos se destaca, el cómo a partir de situaciones particulares, los estudiantes hacen conjeturas, descubren relaciones y patrones que los conduce a realizar acciones para representar, organizar y reorganizar su conocimiento. Los procesos simultáneos de recolección, codificación y análisis de datos y el método de comparación constante, condujeron a la saturación teórica, posibilitando construir el núcleo de la teoría, como un proceso entre las operaciones variacionales de particularizar, conjeturar, relacionar, generalizar y probar, junto a una serie de acciones manifestadas por los participantes, cuando su pensamiento variacional opera sobre problemas que involucran ecuaciones lineales diofánticas de la forma