No abstract

The article deals with the following question: when does the classical ring of quotientsof a duo ring exist and idempotents in the classical ring of quotients $Q_{Cl} (R)$ are thereidempotents in $R$? In the article we introduce the concepts of a ring of (von Neumann) regularrange 1, a ring of semihereditary range 1, a ring of regular range 1. We find relationshipsbetween the introduced classes of rings and known ones for abelian and duo rings.We proved that semihereditary local duo ring is a ring of semihereditary range 1. Also it was proved that a regular local Bezout duo ring is a ring of stable range 2. In particular, the following Theorem 1 is proved: For an abelian ring $R$ the following conditions are equivalent:$1.$\ $R$ is a ring of stable range 1; $2.$\ $R$ is a ring of von Neumann regular range 1. The paper also introduces the concept of the Gelfand element and a ring of the Gelfand range 1 for the case of a duo ring. Weproved that the Hermite duo ring of the Gelfand range 1 is an elementary divisor ring (Theorem 3).

No abstract

The issue of the semiscalar equivalence of Laurent polynomial matrices is investigated and the triangular form of such matrices and their finite sets is established with respect to this equivalence. The theorem on regularization of a Laurent polynomial matrix is proved. This theorem is used in the problem of factorization of such matrices. The factorization criterion of a Laurent polynomial matrix with a regular multiplier with a predetermined Smith normal form is obtained.

Подано спектральний розклад для несамоспряже ної моделі Фрідріхса і наведено узагальнення відомої у самоспряженому випадку функції Вейля на неса моспряжений випадок. Встановлено, що для несамо спряженої моделі Фрідріхса довільний елемент про стору можна подати як лінійну комбінацію власних елементів оператора, що відповідають точкам спек тра. Побудовано спектральний розклад, тобто пред ставлення довільного елемента простору через влас ні функції, що свідчить про повноту власних функцій. Це зроблено з врахуванням спектральних особливос тей (тобто власних значень на неперервному спектрі) несамоспряженого оператора моделі Фрідріхса. Ця модель виступає важливим інструментом для знахо дження розв'язку звичайних диференціальних рівнянь після застосування відповідного перетворення Фур'є. Запропоновано загальний метод побудови спект рального розкладу (тобто не прив'язаний виключно до моделі Фрідріхса), який грунтується на понятті так званого розгалуження резольвенти і який можна вико ристовувати для довільних несамоспряжених опера торів, а також і для самоспряжених операторів. Доведено, що за умов існування максимального оператора, резольвента допускає відокремлення роз галуження. Вказані достатні умови для існування функції Вейля m(ζ) для оператора несамоспряженої моделі Фрідріхса та отримано формули для її обчис лення через резольвенту. Показано, що функція Вейля m(ζ) для самоспря женого оператора співпадає з класичною функцією Вейля у випадку оператора ШтурмаЛіувілля на пів осі. Наведено два приклади, в яких знайдено узагаль нену функцію Вейля m(ζ) для несамоспряженої моделі Фрідріхса Ключові слова: оператор ШтурмаЛіувілля, модель Фрідріхса, перетворення Фур'є, функція Вейля, непе рервний спектр, розгалуження резольвенти, макси мальний оператор