Let L : [0, 1] \ {d} → [0, 1] be a one-dimensional Lorenz like expanding map (d is the point of discontinuity), P = {(0, d), (d, 1)} be a partition of [0, 1] and C α ([0, 1], P) the set of piecewise Hölder-continuous potential of [0,1] with the usual C 0 topology. In this context, we prove, improving a result of [2], that piecewise Hölder-continuous potential φ satisfying max n lim sup n→∞ 1 n (S n φ)(0), lim sup n→∞ 1 n (S n φ)(1) o < P top (φ, T) support an unique equilibrium state. Indeed, we prove there exists an open and dense subset H of C α ([0, 1], P) such that, if φ ∈ H, then φ admits one equilibrium measure.Contents 14 Proof of that H is C 0 -dense in C α ([0, 1], P) 16 References 17

In this paper we study the effect of a homoclinic tangency in the variation of the topological entropy. We prove that a diffeomorphism with a homoclinic tangency associated to a basic hyperbolic set with maximal entropy is a point of entropy variation in the C ∞ -topology. We also prove results about variation of entropy in other topologies and when the tangency does not correspond to a basic set with maximal entropy. We also show an example of discontinuity of the entropy among C ∞ diffeomorphisms of three dimensional manifolds.

In this paper we study the e¤ect of a homoclinic tangency in the variation of the topological entropy. We prove that a diffeomorphism with a homoclinic tangency associated to a basic hyperbolic set with maximal entropy is a point of entropy variation in the C^{\infty} -topology. We also prove results about variation of entropy in other topologies and when the tangency does not correspond to a basic set with maximal entropy. We also show an example of discontinuity of the entropy among C^{\infty} diffeomorphisms of three dimensional manifolds.

No abstract

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação -ICMC/USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Matemática. USP -São Carlos AgradecimentosAgradeço a Deus por auxiliar-me a concluir mais essa etapa da vida, dando-me paciência, companhia e entusiasmo nos momentos difíceis que enfrentei neste período.À minha esposa Elba pela compreensão, força, paciência, esperança, companheirismo, expectativa, fidelidade, apoio e muitas outras formas de amizade e amor que teve comigo neste período.À minha família Célia, João, Carol, Fabiana e Danilo, incluindo também Sônia e Miro, Nathan e Régis que nesses quatro anos me apoiaram e motivaram incansavelmente. Ressalto aqui toda a força que minha mãe Célia me deu para cursar o doutorado numa conversa decisiva.Ao Professor Doutor e Orientador Ali Tahzibi, por sua imensa experiência e entusiasmo, pela receptividade, encorajamento e pelas oportunidades e experiências acadêmicas que pude vivenciar durante estes importantes quatro anos.A todos os professores do ICMC que de algum modo me ajudaram nesse trajeto. Em especial aos professores Daniel Smania, Carlos Maquera, Carlos Biasi, Marcelo Saia, Hidebrando e às professoras Cidinha (Maria Aparecida Ruas) e Marcia Federson. Ao Professor Doutor Carlos Teobaldo Gutierrez Vidalon, in memoriam.Aos irmãos acadêmicos Juliano Oler, Ubarana (Thiago Catalan), Fernando Micena e ao parceiro Kleyber Mota, pela amizade, convivência, brincadeiras, seminários e discussões no quadro desgastado do segundo andar do ICMC, em busca do entendimento da teoria de Sistemas Dinâmicos.Aos meus contemporâneos da turma de doutorado, Miriam (também de mestrado!), Marcela, Tatiana, Daniela, Michele e Bernardo. Aos colegas da minha "salinha 4-230" Nazira, Andrea, Marcos, Everaldo, Wescley, Fernandão, Miriam, Daniela e aos novatos. À galera das salinhas 4-232 e 4-227, em particular Benito, Luizão, Edinho, Flank, Pimenta, John, Kleyber, Ubarana, Tatimi, Thais Muniz e Thais Jordão. Aos demais companheiros Walter, Márcio Fenille, Nivaldo, Enoch, Romero e àqueles de quem possa ter me esquecido.iii iv Aos bons amigos da "República Churrasco" Ursão (Rodrigo Martins), Jamil, Juliano, Luizão, Leko, Yuri, Pimenta, Flank e Mário, pelas jogatinas, confraternizações, muita brincadeira e "trairagem".A todos os funcionários do ICMC, que direta e indiretamente me auxiliaram durante todo este período. Em particular, Seu Arli, Roberto, Dornelas e Camilo. Aos funcionários da biblioteca do ICMC, pelo auxílio na busca de textos e artigos.A FAPESP e a CAPES pelo suporte financeiro. ResumoEstudamos o efeito de uma tangência homoclínica na variação da entropia topológica. Provamos que um difeomorfismo com uma tangência homoclínica associada a uma peça básica com máxima entropia é um ponto de variação da entropia na topologia C ∞ . Além disso, discutimos o problema variacional na topologia C 1 e apresentamos um exemplo de descontinuidade da entropia em dimensão três.Um resultado devido a Newhouse afirma que um difeomorfismo genérico sobre uma supe...