An approximate analytical methodology for calculating the friction factor within ducts of irregular cross-section is herein proposed. The approximations are developed by transforming the original governing PDEs into simpler ODEs, using approximation rules provided by the coupled integral equations approach. The transformed system is directly integrated and analytical solutions for the friction factor are readily obtained. Four different approximation cases are analyzed, which yield simple closed-form expressions for calculating the friction factor in terms of geometric parameters for rectangular, triangular, and trapezoidal ducts. The results of these expressions are compared with literature data, and very reasonable agreement is seen. After performing an error analysis of the results, regions for applicability of the methodology where accuracy requirements can be maintained are highlighted. Finally, enhanced approximation formulas yielding maximum errors as low as 3% are developed by using simple weighted averages of different approximation cases. Keywords Lumped-capacitance formulation Á Arbitrary geometry Á Friction factor Á Mathematical modeling List of symbols a, b, c Geometric parameters in cross-section domain D H Hydraulic diameter f Fanning's friction-factor G Ã Dimensionless pressure gradient H a;b Hermite approximation K Aspect ratio p Pressure u Axial velocity u Cross-sectional averaged velocity U Dimensionless axial velocity x Axial variable X Dimensionless function for left boundary y, z Cross-section variables Y, Z Dimensionless problem variables z 1 Function for left boundary Re Reynolds number Greek symbols a, b, m Hermite approximation parameters n, g Dimensionless left boundary function parameters l Dynamic viscosity f i Solution constants

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Apresentamos a trajetória político-revolucionária de Nadhezda Konstantínovna Krupskaia e suas ideias forjadas na luta pela transformação social no contexto da Russa czarista. Destacamos sua coragem ao afirmar uma educação forjada na luta política de princípios socialistas e de igualde de gênero. Para tanto, baseamos o trabalho em obras de Samantha Lodi-Corrêa que se dedicou ao estudo biográfico desta educadora revolucionária que assumiu protagonismo na Revolução Russa, junto ao marido – Lenin -, apontando sua autonomia intelectual e militante, como mulher de vanguarda. Lamentamos a ausência de uma Krupskaia no Brasil, para destacar que nós, infelizmente, demoramos muito a compreender a natureza de classe da educação.

A vida, em contrapartida, é troca contínua, com intercomunicações e reações incessantes. A vida é desequilíbrio, conflitos perpétuos e, a este título, contradições. Edgar Morin RESUMO O presente artigo é parte de um estudo de investigação dos processos que envolveram a elaboração de uma proposta político-pedagógica coletiva no cotidiano de uma escola pública de horário integral, em Niterói. A partir do pensamento de alguns autores da chamada ciência da complexidade ou teoria do caos, as ideias apresentadas neste texto representam um movimento de tentar compreender episódios, aparentemente inesperados, tecidos no interior do espaço-tempo da escola, fruto da interação entre os sujeitos que o constitui. São situações que exigem um exercício de reflexão complexo, onde é necessário "baixar as armas" da objetividade e da linearidade deterministas, em busca de uma lógica de compreensão aberta e diferenciada. Faz-se necessário, então, perceber o cotidiano escolar como o lugar da complexidade e da imprevisibilidade, onde os processos que o envolvem nos colocam diante da incapacidade de afirmar, certificar e absolutizar, já que ficamos expostos ao desafio de pensar sobre o inacabado e o provisório como características da sua dinâmica.